В інтегруванні, розкладання раціонального дробу на суму найпростіших дає змогу інтегрувати раціональні функції.
Будь-який правильний раціональний дріб , знаменник якого розкладено на множники
де лінійні множники в відповідають дійсним кореням , а множники — незвідні квадратичні множники що відповідають парам комплексних спряжених коренів , можна подати (єдиним способом) у вигляді наступної суми найпростіших дробів:
Невизначений інтеграл раціонального дробу на будь-якому проміжку, де знаменник дробу не перетворюється в нуль, існує і подається через елементарні функції, а саме, він є сумою: раціональних дробів (для доданків зі степенем ), раціональних логарифмів (для лінійних дробів зі степенем ), арктангенсів (для квадратичних дробів зі степенем ).
Зазвичай невідомі коефіцієнти шукають за допомогою методу невизначених коефіцієнтів.
Розв'язок Ісаака Барроу для інтегралу від секанса був першим випадком використання розкладання дробів у інтегруванніV. Frederick Rickey and Philip M. Tuchinsky, «An Application of Geography to Mathematics: History of the Integral of the Secant», Mathematics Magazine, volume 53, number 3, May 1980, pages 162—166.
Неформальний опис
Відомо, що многочлен n-го степеня в загальному випадку має n комплексно-спряжених коренів (деякі корені можуть збігатися). Наприклад, многочлен x2 − 6x + 8 має два корені; многочлен x3 − 6x2 + 8x + 7 має три корені тощо.
Відповідно, будь-який многочлен може бути розкладений за формулою
де , … — корені многочлена.
Наприклад, многочлен x2 − 6x + 8 можна розкласти наступним чином:
x2 − 6x + 8 = (x - 2)(x - 4),
де 2 і 4 — корені квадратного рівняння x2 − 6x + 8=0.
Отже, дріб, знаменником якої є многочлен, може бути розкладений наступним чином:
.
Ця операція розкладання дробу в деякому сенсі зворотня операції приведення дробу до спільного знаменника, з тією лише різницею, що тут ставиться зворотня задача — не привести дріб до спільного знаменника, а розкласти дріб, що має спільний знаменник, на декілька дробів, що мають різні знаменники.
Для прикладу розкладемо дріб
.
Згідно з тим, що написано вище, розклад цього дробу буде таким
.
Почнемо приводити два дроби у правій частині рівняння до спільного знаменника, і, очевидно, що чисельник, отриманого дробу буде рівним чисельнику первісного дробу
,
тобто, чисельник отриманого дробу буде дорівнювати одиниці.
Маємо
.
Записуючи два дроба з правого боку під одну риску, отримаємо
.
Розкривши дужки в знаменнику, отримаємо
.
Враховуючи, що знаменники однакові, то чисельники дробів з правої і лівої сторони можна порівняти; тоді отримаємо:
.
Розкриємо дужки з правої частини рівності та згрупуємо доданки:
.
В лівій частині множник при змінній х дорівнює нулю (змінна х відсутня), а вільний член дорівнює 1. В правій частині рівності множник при х дорівнює (А+В), а вільний член дорівнює (-4A — 2B). Прирівнюючи множники при х в правій і лівій частинах отримуємо рівняння:
.
Аналогічно прирівнюємо вільні члени, і отримуємо рівняння:
.
Об'єднуємо ці два рівняння в систему:
.
Розв'язуючи цю систему, знаходимо,що
,
.
Отже, маємо розклад
Тоді, інтеграл від дробу
буде дорівнювати сумі інтегралів від двох дробів
.
Враховуючи, що під знаком диференціалу до змінної можна додавати будь-яку константу, запишемо
Зробимо дві заміни
, .
Тоді інтеграл прийме вигляд
.
Ці два інтеграли можна знайти за таблицею інтегралів. Тоді остаточно отримуємо:
або
.
Многочлен першого степеня в знаменнику
Підстановка u = ax + b, du = a dx дозволяє спростити інтеграл
до
Многочлен першого степеня в знаменнику, зведений до деякого цілого додатного степеня
Та ж сама підстановка спрощує інтеграл, подібний наступному
до
В знаменнику многочлен другого степеня, який не має дійсних коренів Розглянемо інтеграл
Найпростіший шлях побачити, що знаменник x2 − 8x + 25 не має дійсних коренів, полягає в тому, щоб обчислити його дискримінант, і побачити, що цей дискримінант від'ємний. Іншим чином, можна виділити повний квадрат в знаменнику:
і можна побачити, що знаменник являє собою суму квадратів двох чисел, і ця сума ніколи не може бути рівною 0 або менше 0, якщо x — дійсне число.
Використовуючи підстановку
нам потрібно виділити вираз x − 4 в чисельнику. Тоді мі зможемо записати чисельник x + 6 у вигляді суми (x − 4) + 10, і тоді інтеграл буде записан у вигляді
Наведена вище підстановка дозволяє взяти перший із цих двох інтегралів:
Причина, з якої ми можемо опустити модульні дужки, є у тому, що, як ми казали раніше, вираз (x − 4)2 + 9 не може мати від'ємних значень.
Далі треба взяти інтеграл
В першу чергу, виділимо повний квадрат в знаменнику, після чого проведемо не складні алгебраїчні перетворення:
Тепер використаємо наступну підстановку
що дозволяє знайти
Додаючи обидва знайдених вирази, запишемо результат інтегрування
Використання комплексного розкладу В деяких випадках зручніше використовувати комплексний розклад многочлена. Так, у наведеному вище прикладі:
Розкладаємо знаменник на два комплексні множники:
Після чого шукаємо розклад підінтегрального виразу на два доданки:
Вирішивши нескладну систему лінійних рівнянь, отримуємо:
Після інтегрування маємо:
Згрупуємо окремо дійсні та уявні доданки:
Як відомо, арктангенс комплексного змінного виражаеться через логарифм:
Це дає нам можливість переписати другий доданок через арктангенс:
В знаменнику многочлен другого степеня, зведений до цілого додатного степеня
Розглянемо інтеграл
Так само, як це робилося вище, можна представити чисельник x + 6 у вигляді суми (x − 4) + 10, і взяти ту частину, котра містить вираз x − 4, за допомогою підстановки
Нам залишається лише знайти інтеграл
Як це робилося вище, спочатку виділимо повний квадрат, після цього зробимо нескладні математичні дії
Після цього можна використовувати підстановку:
Після чого інтеграл приймає вигляд
Декілька разів використовуючи формулу
можна спрощувати цей інтеграл, до поки підінтегральний вираз не буде мати cos θ в степені, більше ніж 1.
Далі варто виразити sin(θ) і cos(θ) як функції від x. Приймемо, що
і що тангенс = (протилежна сторона)/(прилегла сторона). Якщо «протилежна» сторона має довжину x − 4 і «прилегла» сторона має довжину 3, то згідно теоремі Піфагора гіпотенуза має довжину √((x − 4)2 + 32) = √(x2 −8x + 25).
Маємо
і
Див. також Метод Остроградського
Примітки
Джерела
Partial Fraction Expander