Група перетворень множини Нехай - довільна множина, елементи якої позначимо чи Кожному елементові ставиться у відповідність елемент Тим самим визначається перетворення множини у себе. Перетворення запишемо наступним чином: (або просто літерою ). Елемент є прообразом елемента а елемент - образом елемента Сукупність усіх образів коли пробігає множину позначається Зрозуміло, що або співпадає із або складає її частину.

Перетворення множини у себе називається взаємно однозначним перетворенням на себе, якщо справджуються наступні умови: різним елементам та множини відповідають різні образи та ; множина співпадає із множиною

Будемо розглядати лише такі взаємно однозначні перетворення.

Нехай - перетворення множини Оскільки то для довільного можна віднайти лише один такий елемент що (єдиність слідує з першої умови, а саме - взаємної однозначності перетворення ). Таким самим чином по перетворенню можна побудувати перетворення Воно називається зворотним для і є єдиним. Зворотне відображення позначається

Розгляньмо два перетворення та Тоді кожний елемент цими перетвореннями та переводиться спочатку у елемент а потім у Відповідність є взаємно однозначним перетворенням Воно називається добутком двох перетворень та взятих у певному порядку, та може бути записане наступним чином: Взагалі, добуток перетворень залежить від порядку, у якому вони здійснюються, тобто в загальному

Перетворення яке залишає усі елементи нерухомими, називається тотожним. Якщо - дане перетворення та є зворотним до нього, то за будь-якого справджуються рівності та

Вважаймо тепер, що є добутком перетворень та множини якщо першим здійснюється перетворення а згодом а через - добуток та коли перетворення здійснюється першим.

Із сказаного слідує, що сукупність усіх взаємно однозначних перетворень множини на себе утворює групу, якщо добуток будь-яких двох перетворень розуміти так, як це було визначено. Справді, у сукупності взаємно однозначних перетворень на себе для кожної пари перетворень та взятих у певному порядку, визначений їх добуток який є взаємно однозначним перетворенням на себе. Переконаймося у цьому. 1. Якщо - дані перетворення множини то Справді, якщо - дані перетворення, то та обидва зводяться до перетворення Таким чином, добуток перетворень завжди підпорядковується асоціативному законові. 2. Тотожне перетворення відіграє роль одиниці (ідемпотента) групи. Справді, для будь-якого перетворення та будь-якого будемо мати Звідки слідує, що 3. Для будь-якого перетворення існує зворотне перетворення таке, що

Нехай тепер - множина довільних елементів та - декотра група її перетворень. Будемо називати простором, а її елементи - точками. Сукупність точок назвемо називати фігурою. Фігура називається еквівалентною фігурі якщо існує перетворення у групі яке переводить у Відношення еквівалентності фігур має наступні властивості: будь-яка фігура є еквівалентною сама собі; справді, одиниця групи - тотожне відображення множини на себе, що переводить у ; якщо фігура є еквівалентною фігурі то й навпаки, фігура є еквівалентною фігурі ; справді, якщо фігура перетворенням переводиться у то оскільки то переводить фігуру у фігуру якщо фігура є еквівалентною фігурі а фігура еквівалентна фігурі то фігура є еквівалентною фігурі справді, якщо перетворення переводить у а перетворення переводить у то перетворення переводить у

Відношення еквівалентності розбиває усі фігури на класи еквівалентних між собою фігур, причому будь-яка фігура належить лише до одного класу.

За Ф.Клейном, геометричними властивостями фігур простору та геометричними величинами цих фігур вважаються ті, які є інваріантними відносно будь-якого перетворення з групи та які є однаковими у всіх еквівалентних фігур.

Приклади Геометричне перетворення - бієкція множини точок площини на себе (розглядають й геометричне перетворення усього простору). Оскільки - множина нескінченна, геометричні перетворення не можна задавати таблицями. Часто їх задають формулами, які виражають координати та точки через координати та точки У загальному випадку ці формули записують наступним чином:

що те саме, що

Наприклад, щоб знайти образ точки за перетворення площини потрібно змінити у цих рівняннях та числами та відповідно: Таким чином, точка переходить у точку Щоб віднайти зворотне перетворення, потрібно вирішити систему відносно та , тобто: Таким чином, переходить у точку

Функції та не можна обирати довільно - вони повинні задовольняти умові бієктивності відображення Це значить, що вони повинні бути визначені для усіх пар та, з іншого боку, для будь-якої пари чисел повинна бути визначена пара чисел така, що

Наприклад, функції не задають перетворення площини, оскільки визначені за умов, що та

За геометричного перетворення кожна геометрична фігура , яка називається прообразом, переходить у геометричну фігуру яка називається її образом за перетворення .

Геометричне перетворення називається переміщенням площини, якщо воно не змінює відстаней між точками площини. Іншими словами, є переміщенням площини, якщо для будь-яких двох точок площини та виконується рівність де образ точки a - образ точки за цього переміщення, тобто

Нехай та - два переміщення площини. Оскільки вони не змінюють відстаней між точками площини, то їхня композиція залишає ці відстані незмінними. Відповідно, композиція двох переміщень є переміщенням. Якщо переміщення не змінює відстаней між точками площини, то й також є переміщенням. Таким чином, переміщення площини утворюють групу.

Плоска фігура - сукупність точок, що дані у площині. Фігура є скінченною, якщо відстань між двома будь-якими точками фігури є скінченною. Недай дана фігура; у випадку, якщо можна провести пряму у площині фігури таким чином, що перпендикуляр, опущений з довільної точки фігури на цю пряму, розташований по іншу сторону, зустріне другу точку фігури, причому відстані цих точок фігури до прямої є рівними, то така лінія називається лінією симетрії. Фігура, що наділена цією властивістю, називається симетричною - такою, що має лінію симетрії.

Фігура називається конгруентною плоскій фігурі , якщо існує переміщення , яке відображає на , тобто таке, що Відношення конгруентності рефлексивне, симетричне й транзитивне, а відтак воно є відношенням еквівалентності, яке розшаровує сукупність усіх геометричних фігур на класи еквівалентності. Осьова симетрія є прикладом переміщення площини. Композиція двох осьових симетрій відносно пересічних прямих та є поворотом площини. Якщо замінити прямі та іншими прямими та які перетинаються у тій самій точці й утворюють той самий кут (відлічуваний від до ), то отримається поворот навколо тієї самої точки на той самий кут, тобто де - геометричне перетворення відносно осей, вказаних індексом. Будь-який поворот навколо точки можна представити у вигляді композиції двох осьових симетрій. Для цього достатньо провести через цю точку прямі та із кутом між ними де - кут повороту, і зробити симетрії та Композиція осьової симетрії й паралельного перенесення у напрямку, пралельному осі , називається переносною симетрією. Таким чином, будь-яке переміщення площини є або паралельним перенесенням, або поворотом, або осьовою симетрією, або переносною симетрією (Теорема Шаля).

Тотожне перетворення площини переводить кожну фігуру у себе. Для декотрих фігур існують й інші переміщення, які суміщають фігуру із собою. Наприклад, трапеція із рівними сторонами суміщається із собою за осьової симетрії відносно прямої, яка сполучає середини її основ, а паралелограм - за [центральної симетрії відносно його центру. Для прямокутника є чотири таких переміщення: тотожне перетворення, дві осьові симетрії й центральна симетрія. Так само чотири переміщення суміщають із собою ромб. Тільки для прямокутника осями симетрії є прямі, які сполучають середини протилежних сторін, а для ромбу - його діагоналі. Квадрат комбінує у собі симетрії ромба й прямокутника, сукупність його самосуміщень складається із восьми елементів: повороти центру на кути 0, 90, 180 й 270 градусів й симетрії відносно чотирьох осей. У кола незліченна кількість самосуміщень - вона переходить у себе за будь-якого повороту навколо центру й за будь-якої осьової симетрії відносно прямої, яка проходить через її центр. Для будь-якої фігури сукупність її самосуміщень утворює групу перетворень, яка називається групою самосуміщень. Це слідує з того, що якщо перетворення та переводять фігуру у себе, то їх композиція переводить у . Точно так само якщо переводить у себе, то тією ж властивістю наділене й зворотне перетворення Групи самосуміщень скінченних фігур складаються лише з обертань та осьових симетрій.

Фігури, які мають поворотні симетрії, можна отримати, згинаючи лист паперу й прорізаючи його ножицями. Наприклад, якщо узяти квадратний лист паперу, скласти його по діагоналі, потім скласти отриманий рівнобедрений трикутник по висоті, а новий трикутник ще раз скласти навпіл та зробити розріз, який прорізає усі шари паперу, то отримається витинанка у формі, що має назву розетка.

Евклідовий простір З точки зору теорії множин будь-яка геометрична фігура є множиною усіх точок, які належать їй. Інакше кажучи, будь-яка геометрична фігура не є пустою множиною. Відображення геометричної фігури на площину (чи на якусь іншу поверхню) можна одержати шляхом проектування її точок на цю площину (поверхню).

Точки, прямі й площини евклідового простору знаходяться у певному взаємовідношенні, яке може бути визначене словом приналежність, або інцидентність. Поняття інцидентності заміняє поняття "лежати на" чи "проходити через". Замість виразів "точка лежить на площині ", говорять, що "точка є інцидентною (належить) площині ". У символічній формі цей вираз записується наступним чином:

Відношення приналежності (інцидентності) між елементами евклідового простору задовільняють наступним умовам. 1. Якщо точка належить прямій а пряма належить площині то точка належить площині: 2. Дві різні точки та завжди інцидентні лише одній прямій або прямій належать принаймні дві точки та тобто 3. Три різні точки та які не належать одній прямій, належать одній і тій самій площині (лише одній): 4. Якщо дві точки та які належать прямій належать площині то пряма належить площині

Окрім наведених умов можуть бути сформульованими й інші пропозиції приналежності для елементів евклідового простору. До таких пропозицій належать, зокрема, наступні. 5. Дві прямі, які належать одній площині, можуть належати одній точці, але цього може і не бути. 6. Дві площини можуть належати одній і тій самій прямій, але цього може і не бути. 7. Площина та пряма, які не належить цій площині, можуть належати до однієї точки, але цього може й не бути.

Останні три пропозиції виражають аксіому паралельності. Прийняття аксіоми Евкліда про паралельність з огляду на метод проекцій, який складає основу для зображення на площині геометричних фігур, розташованих у просторі, породжує труднощі, пов'язані із "неоднорідністю" евклідового простору й занурених до нього геометричних фігур.

Центральне проектування

Паралельне проектування

Аксонометрія

Аналітичне перетворення Задачу будь-якої геометрії Клейн визначав наступним чином: "Нехай даний многовид та група перетворень; вивчити властивості фігур цього многовиду, інваріантні відносно перетворень групи". Таким чином, метрична, афінна, проективна геометрії визначаються без залежності від методів, які є основними для їх вивчення.

Аналітично довільне перетворення визначається системою рівнянь де Змінні є вихідними, а - перетвореними. Змінні можна розглядати в якості координат деякого геометричного образу (точки, прямої, площини чи сфери тощо), а - точки того самого чи іншого образу. Ці рівняння є перетвореннями, якщо встановлюють відповідність між образами. Наприклад, проективне перетворення переводить точку у точку а корелятивне перетворення перетворює точку у площину тощо.