Характеристичний поліном квадратної матриці розміру — це многочлен степеня від змінної який дорівнює , де — одинична матриця порядку .
Мотивація Скаляр є власним значенням матриці A для власного вектора тоді і тільки тоді коли:
або
Оскільки то повинна бути виродженою, а отже: .
Властивості Неважко переконатися, що
Для матриць елементи яких комутативними є -алгебрами, характеристичний многочлен можна записати як:
де — многочлени із раціональними коефіцієнтами, що описують залежність елементарних симетричних многочленів від степеневих симетричних многочленів у тотожностях Ньютона (тобто ) Характеристичні поліноми подібних матриць збігаються:
Характеристичні поліноми добутку квадратних матриць не залежать від порядку множників:
Характеристичний поліном від самої матриці дорівнює нульовій матриці (теорема Гамільтона — Келі):
Характеристичне рівняння Характеристичним рівнянням (або секулярним рівнянням; така назва пов'язана з тим, що це рівняння зустрічається при дослідженні столітніх збурень планет; з латині: `saeculum' --- століття.) називається рівняння
Корені характеристичного полінома називаються характеристичними числами матриці
Тільки вони є власними значеннями матриці
Див. також Визначник матриці Слід матриці
Джерела