Правило Тіціуса — Боде (також відоме як закон Боде) — емпірична формула, яка приблизно описує відстані між планетами Сонячної системи і Сонцем (середні радіуси орбіт). Правило було запропоноване Йоганном Тіціусом у 1766 році й здобуло популярність завдяки роботам Йоганна Боде в 1772 році.

Формулювання Правило формулюється так:

До кожного елемента послідовності додається 4, потім результат ділиться на 10. Отримане число вважається радіусом орбіти i-ї планети в астрономічних одиницях. Тобто

Послідовність  — геометрична прогресія, окрім першого числа. Тобто

Цю саму формулу можна записати по-іншому: .

Зустрічається також інше формулювання:

Для будь-якої планети відстань від неї до найвнутрішнішої планети (Меркурія) вдвічі більша, ніж відстань від попередньої планети до внутрішньої планети:

Результати обчислень приведені в таблиці (де ). Видно, що цій закономірності відповідає також пояс астероїдів, а Нептун, навпаки, із закономірності випадає, причому його місце займає Плутон, хоча він, згідно з рішенням XXVI Асамблеї МАС, був виключений з числа планет і вважається карликовою планетою.

Планета Радіус орбіти (а. о.)за правиломфактичний Меркурій00,40,39 Венера010,70,72 Земля121,01,001,825 Марс241,61,521,855 Пояс астероїдів382,8у середн. 2,2-3,62,096 (по орбіті Церери) Юпітер4165,25,202,021 Сатурн53210,09,541,9 Уран66419,619,222,053 Нептун випадає30,061,579 Плутон712838,839,52,078 (відносно Урана) Ерида825677,267,7

Коли Тіціус уперше сформулював це правило, йому задовольняли всі відомі тоді планети (від Меркурія до Сатурна), був лише пропуск на місці п'ятої планети. Проте правило не привертало великої уваги, поки в 1781 року не був відкритий Уран, який майже точно ліг на передбачену послідовність. Тоді Боде закликав почати пошуки забраклої планети між Марсом і Юпітером. Саме у тому місці, де повинна була розташовуватися ця планета, була виявлена Церера. Завдяки цьому астрономи почали ще більше довіряти правилу Тіціуса — Боде, що продовжувалося до відкриття Нептуна. Коли з'ясувалося, що, окрім Церери, приблизно на тій самій відстані від Сонця розташована безліч тіл, що формують пояс астероїдів, була висунена гіпотеза, що вони утворилися в результаті руйнування планети (Фаетон), яка раніше перебувала на цій орбіті.

Спроби обґрунтування Правило не має конкретного математичного й аналітичного (через формули) пояснення, заснованого тільки на теорії гравітації, оскільки не існує загального рішення так званої «задачі трьох тіл» (у простому випадку), або «задачі N тіл» (у загальному випадку). Пряме чисельне моделювання також ускладнене величезним об'ємом обчислень.

Одне з імовірних пояснень правила полягає в наступному. Уже на стадії формування Сонячної системи внаслідок гравітаційних збурень, викликаних протопланетами і їхнім резонансом з Сонцем (при цьому виникають припливні сили і енергія обертання витрачається на припливне прискорення або швидше уповільнення) сформувалася регулярна структура з ділянок, що чергуються, в яких могли або не могли існувати стабільні орбіти згідно з правилами орбітальних резонансів (тобто відношення радіусів орбіт сусідніх планет, рівних 1/2, 3/2, 5/2, 3/7 тощо). А втім, частина астрофізиків вважає, що це правило — усього лише випадковий збіг.

Резонансним орбітам зараз здебільшого відповідають планети або групи, не розташовані на стабільних орбітах (як Нептун) і не розташовані в площині екліптики (як Плутон). Напевно, в найближчому (відносно сотень мільйонів років) минулому мали місце інциденти, орбіти (зіткнення, близький проліт масивного зовнішнього тіла), що порушували їх. З часом (швидше біля центру й повільніше на околицях системи) вони неминуче займуть стабільні орбіти, якщо їм не завадять нові інциденти.

Наявність стабільних орбіт, викликаних резонансами між тілами системи, уперше чисельно змодельовано (комп'ютерна симуляція руху точкових взаємодійних мас навколо резонансного центра — Сонця, представленого як дві точкові маси з пружним зв'язком) і наведено порівняно з реальними астрономічними даними в роботах 1998—1999 років професора Рену Малготри.

Існування резонансних орбіт і саме явище орбітального резонансу в нашій планетній системі підтверджується експериментальними даними розподілу астероїдів по радіусі орбіти і щільності об'єктів KBO пояса Койпера по радіусі їхньої орбіти.

Порівнюючи структуру стабільних орбіт планет Сонячної системи з електронними оболонками простого атома, можна виявити деяку подібність, хоча в атомі перехід електрона відбувається практично миттєво й тільки між стабільними орбітами (електронними оболонками), а в планетарній системі вихід небесного тіла на стабільні орбіти займає десятки й сотні мільйонів років.

Перевірка для супутників планет Сонячної системи Три планети Сонячної системи — Юпітер, Сатурн і Уран — мають систему супутників, які, можливо, сформувалися внаслідок таких самих процесів, як самі планети. Ці системи супутників утворюють регулярні структури на основі орбітальних резонансів, які, щоправда, не підкоряються правилу Тіціуса — Боде в його первинному виді. Проте, як з'ясував у 1960-х роках астроном Стенлі Дермотт, якщо трохи узагальнити правило Тіціуса — Боде: , де  — орбітальний період (днів), то нова формула з хорошою точністю охоплює системи супутників Юпітера, Сатурна й Урана див. закон Дермотта: Юпітер: T (0) = 0,444, C = 2,03 Супутник n Результат розрахунку Фактично Jupiter V Амальтея 1 0,9013 0,4982 Jupiter I Іо 2 1,8296 1,7691 Jupiter II Європа 3 3,7142 3,5512 Jupiter III Ганімед 4 7,5399 7,1546 Jupiter IV Каллісто 5 15,306 16,689 Jupiter VI Гімалія 9 259,92 249,72

Сатурн: T (0) = 0,462, C = 1,59 Супутник n Результат розрахунку Фактично Saturn I Мімас 1 0,7345 0,9424 Saturn II Енцелад 2 1,1680 1,3702 Saturn III Тефія 3 1,8571 1,8878 Saturn IV Діона 4 2,9528 2,7369 Saturn V Рея 5 4,6949 4,5175 Saturn VI Титан 78 11,86918,872 15,945 Saturn VIII Япет 11 75,859 79,330

Уран: T (0) = 0,488, C = 2,24 Супутник n Результат розрахунку Фактично Uranus V Міранда 1 1,0931 1,4135 Uranus I Аріель 2 2,4485 2,5204 Uranus II Умбріель 3 5,4848 4,1442 Uranus IV Оберон 4 13,463 12,286

Перевірка для екзопланет Тімоті Боверд () і Чарльз Лайнвівер () з Австралійського національного університету 2013 року перевірилиTimothy Bovaird, Charles H. Lineweaver. Exoplanet Predictions Based on the Generalised Titius — Bode Relation. застосовність правила до екзопланетних систем. З відомих систем, що містять по чотири відкриті планети, вони відібрали 27 таких, для яких додавання додаткових планет між відомими порушувало б стабільність системи. Уважаючи відібрані кандидати повними системами, автори показали, що для них виконується узагальнене правило Тіціуса — Боде, аналогічне запропонованому Дермоттом: , де R і C — параметри, що забезпечують найкраще наближення до спостережуваного розподілу.

Виявлено, що з 27 відібраних для аналізу систем 22 системи задовольняють взаємним співвідношенням радіусів орбіт навіть краще, ніж Сонячна система; 2 системи підходять під правило, приблизно як Сонячна; у 3 системах правило працює гірше за Сонячну.

Для 64 систем, які за вибраним критерієм не були повні, автори спробували передбачити орбіти ще не відкритих планет. Усього вони зробили 62 передбачення за допомогою інтерполяції (у 25 системах) і 64 — за допомогою екстраполяції. Оцінка максимальних мас планет, зроблена по чутливості приладів, за допомогою яких були відкриті ці системи екзопланет, показує, що деякі з передбачених планет мають бути земного типу.

Згідно з перевіркою Chelsea X. Huang і Gáspár Á. Bakos (2014 р.), для екзопланет співвідношення Тіціуса — Боде в середньому не працює і, таким чином, його чинність під знаком питання[1405.2259& #93; Testing the Titius — Bode law predictions for Kepler multi — planet systems.

У популярній культурі

Роберт Дж. Соєр. , 1990

Див. також Історія астрономії Історія відкриття планет і супутників Сонячної системи Планетологія Фаетон (планета)

Примітки

Література Ньето М. Закон Тициуса-Боде. Історія і теорія. М.: Світ, 1976. Планетарні орбіти і протон. «Наука і життя» № 1, 1993. Hahn, J.M., Malhotra, R. Orbital evolution of planets embedded in a massive planetesimal disk, AJ 117 : 3041-3053 (1999) Malhotra, R. Migrating Planets, Scientific American 281 (3) : 56-63 (1999) Malhotra, R. Chaotic planet formation, Nature 402 : 599—600 (1999) Malhotra, R. Orbital resonances and chaos in the Solar system, in Solar System Formation and Evolution, Rio de Janeiro, Brazil, ASP Conference Series vol. 149 (1998). Preprint Showman, A., Malhotra, R. The Galilean Satellites, Science 286 : 77 (1999)

Посилання Правило XVIII століття у більшості планетарних систем виконується краще, ніж в Сонячній Malhotra's research spans orbital dynamics in the solar system and in extra — solar planetary systems presentations/09-migrating planets.mov Анімація На цій сторінці наводяться графіки розподілу астероїдів по орбітах і графіки розподілу плутино.