У лінійній алгебрі, квадратна матриця A називається діагоналізовною () якщо вона подібна діагональній матриці, тобто, якщо існує P і її обернена такі, що P−1AP є діагональною матрицею. Якщо V є скінченновимірний векторний простір, тоді лінійне відображення T : V → V називається діагоналізовним якщо у V існує впорядкований базис, в якому T представлене діагональною матрицею. Діагоналізація — процес пошуку відповідної діагональної матриці для діагоналізовної матриці або лінійного відображення.Horn & Johnson 1985 Квадратна недіагоналізовна матриця називається дефектною.
Характеристика Засадничий факт про діагоналізовні відображення і матриці виражається так:
n×n матриця A над полем F є діагоналізовною тоді і тільки тоді коли сума вимірностей її власних просторів дорівнює n, що виконується тоді і тільки тоді якщо існує базис Fn, який складається з власних векторів A. Якщо такий базис знайдено, можна утворити матрицю P стовпчики якої і будуть вектори з цього базису, і P−1AP буде діагональною матрицею. Діагональні елементи матриці є власними значеннями A. Лінійне відображення T : V → V є діагоналізовним тоді і тільки тоді коли сума вимірностей її власних просторів дорівнює dim(V), що виконується тоді і тільки тоді коли існує базис V. що складається з власних векторів T. Відповідно до такого базису, T буде представлене діагональною матрицею. Діагональними елементами цієї матриці будуть власні значення T.
Іншою характеристикою: Матриця або лінійне відображення є діагоналізовною над полем F тоді і тільки тоді коли її мінімальний многочлен є добутком різних лінійних множників над полем F. (Інакше кажучи, матриця діагоналізовна тоді і тільки тоді коли всі її елементарні дільники лінійні.)
Наступні достатні (але не необхідні) умови часто корисні.
n×n матриця A діагоналізовна над полем F якщо вона має n відмінних власних значень в F, тобто характеристичний многочлен має n різних коренів в F; однак, зворотній твердження може бути хибним. Лінійне зображення T : V → V з n = dim(V) діагоналізовне якщо воно має n різних власних значень, тобто якщо його характеристичний многочлен має n різних коренів у F.
Діагоналізація Якщо матрицю A можна діагоналізувати, тобто,
тоді:
Записуючи P як блочну матрицю її векторів-стовпчиків
рівняння подане вище можна записати як
Отже стовпчики P є правими власними векторами A, і відповідні діагональні елементи є відповідними власними значеннями. Оборотність P також припускає, що власні вектори лінійно незалежні і утворюють базис для Fn. Це необхідна і достатня умова для діагоналізовності. Вектори-рядки P−1 є лівими власними векторами A.
Коли матриця A — ермітова, з власних векторів A можна утворити ортонормований базис для Cn. За таких умов P буде унітарною і P−1 дорівнює ермітово-спряженій від P.
Приклади Діагоналізовні матриці Інволюції діагоналізовні над полем дійсних чисел (і також над будь-яким полем характеристики не 2), з ±1 на діагоналі Ендоморфізми скінченного порядку над C (або будь-яким алгебраїчно замкнутим полем, де характеристика поля не є дільником порядку ендоморфізму) з коренями одиниці на діагоналі. Проєкції — діагоналізовні, з 0-ми і 1-ми на діагоналі. Дійсні симетричні матриці є діагоналізовними ортогональними матрицями.
Недіагоналізовні матриці Загалом, матриця повороту не є діагоналізовною над полем дійсних чисел, але всі матриці повороту діагоналізовні над полем комплексних чисел (їх власні значення це 1 і два спряжених комплексних числа). Навіть якщо матриця недіагоналізовна, завжди можна зробити якнайкраще і знайти матрицю з такими самими властивостями, яка містить власні значення на головній діагоналі і або 0-і, або 1-і на наддіагоналі — відома як Жорданова нормальна форма.
Деякі матриці недіагоналізовні ні над яким полем, особливо відомі ненульові нільпотентні матриці. Загальніше це відбувається коли не збігаються алгебраїчні і геометричні кратності власних значень. Наприклад, розглянемо
Ця матриця недіагоналізовна: не існує матриці U такої, що U−1CU буде діагональною. Насправді, C має одне власне значення (а саме нуль) і його алгебраїчна кратність 2, а геометрична - 1.
Деякі дійсні матриці недіагоналізовні над полем дійсних чисел. Наприклад,
Матриця B не має дійсних власних значень, отже не існує дійсної матриці Q такої, що Q−1BQ буде діагональною. Але ми можемо діагоналізувати B якщо дозволимо комплексні числа. Дійсно, якщо ми візьмемо
тоді Q−1BQ діагональна.
Зауважте, що наведені приклади показують, що сума діагоналізовних матриць не обов'язково діагоналізовна.
Як діагоналізувати матрицю Розглянемо матрицю
Ця матриця має такі власні значення
A є 3×3 матрицею з 3 різними власними значеннями; отже, вона діагоналізовна. Зауважте, що якщо існує рівно n різних власних значень у n×n матриці тоді така матриця діагоналізовна.
Ці власні значення є значеннями які будуть присутні в діагоналізованій формі матриці A, отже знайшовши власні значення ми діагоналізували A. Ми можемо зупинитися на цьому, але можна перевірити за допомогою власних векторів для діагоналізації A.
Власні вектори A такі
Можна легко перевірити, що
Тепер, нехай P буде матрицею з цими власними векторами як стовпчиками:
Неважливо в якому порядку власні векторі в P; зміна порядку власних векторів у P лиш змінює порядок власних значень у діагоналізованій формі A.
Тоді P діагоналізує A:
Знов зауважимо, що власні значення виринають у діагональній матриці.
Застосування Якщо матриця діагоналізовна, діагоналізацію можна використати для ефективного обчислення степені A. Припустимо ми з'ясували, що
діагональна матриця. Тоді, оскільки добуток матриць є асоціативним,
останній вираз легко піддається обчисленню, оскільки містить лише степені діагональної матриці.
Див. також Напівпростий лінійний оператор
Джерела
Примітки