В диференціальній геометрії поверхонь, репер Дарбу — це природний , побудований на поверхні. Є аналогом тригранника Френе у геометрії поверхонь. Репер Дарбу існує в будь-який не омбілічній точці на поверхні в евклідовому просторі. Названий на честь французького математика Жана Гастона Дарбу.
Репер Дарбу у точках вкладеної кривої Нехай S — це орієнтована поверхня у тривимірному евклідовому просторі E3. Поняття репера Дарбу на поверхні S це по-перше рухомий репер, який пересувається вздовж кривої на поверхні S, а також уздовж напрямків головних кривин.
Геодезична кривина, нормальна кривина та геодезичний скрут
Нехай
внутрішнє рівняння кривої на регулярній поверхні S, параметризованій вектор-функцією
Тоді її зовнішнє рівняння, як кривої у E3 запишемо як композицію
,
Використовуючи правило диференціювання композицій відображення, знайдемо
Оберемо на кривій натуральну параметризацію:
Тоді являє собою одиничне дотичне векторне поле вздовж .
Якщо обмежити векторне поле нормалей поверхні на нашу криву, отримаємо векторне поле
Векторне поле називають полем геодезичних нормалей кривої.
Трійку одиничних, взаємно ортогональних векторів у точках кривої на поверхні називають репером Дарбу цієї кривої.
Розкладемо похідні по натуральному параметру векторних полів репера Дарбу по векторах цього ж репера. В силу одиничності розглянутих полів, отримаємо:
Оскільки вектори репера Дарбу попарно ортогональні, то легко бачимо, що матриця коефіцієнтів такого розкладу кососиметрична, тобто . А тому цілком визначають цей розклад.
Коефіцієнт називають геодезичною кривиною і позначаємо ;
Коефіцієнт називають нормальною кривиною і позначаємо ;
Коефіцієнт називають геодезичним скрутом і позначаємо ;
Див. також Форма Маурера — Картана
Джерела