Дискретне перетворення Фур'є (ДПФ, ) — це математична процедура, що використовується для визначення гармонічного, або частотного, складу дискретних сигналів. ДПФ є однією з найбільш розповсюджених і потужних процедур цифрової обробки сигналів. ДПФ дозволяє аналізувати, перетворювати і синтезувати сигнали такими способами, які неможливі при неперервній (аналоговій) обробці.
Формули перетворень Витоком ДПФ є неперервне перетворення Фур'є , яке визначається:
Експоненціальна форма:
Тригонометрична форма:
Позначення: — -ий компонент ДПФ, тобто , — індекс ДПФ в частотній області, , — послідовність вхідних відліків, , — часовий індекс вхідних відліків, , — кількість відліків вхідної послідовності і кількість частотних відліків результату ДПФ. Якщо представити довільний відлік ДПФ як суму дійсних і уявних частин: з кутом , то амплітуда обчислюється:
Фазовий кут , , обчислюється так:
Потужність відліків , яка називається спектром потужності, являє собою амплітуду, піднесену до квадрату:
Властивості Симетрія Лінійність Якщо вхідна послідовність має ДПФ , а інша вхідна послідовність має ДПФ , то ДПФ суми цих послідовностей рівна: Зсув в часі
Приклад обчислення У цьому прикладі ДПФ застосовується до послідовності довжиною , а саме, до вхідного вектора
Обчислимо ДПФ за допомогою експоненциальної форми:
що дає
Приклад програми Нижче подано приклад функції обчислення ДПФ на мові програмування C# // Структура комплексних чисел public struct Complex { public double Re; public double Im; public Complex(double Re, double Im)
this.Re = Re; this.Im = Im;
public double Sqr(double x) { return x*x; } // x - послідовність вхідних відліків // X - послідовність вихідних відліків // AS - спектр амплітуд // FS - спектр фаз // PS - спектр потужностей // N - кількість відліків public void DFT(double[] x, ref Complex[] X, ref double[] AS, ref double[] FS, ref double[] PS, int N) { Complex S = new Complex(); Complex[] XC = new Complex[N]; int k, n; for (k = 0; k < N; k++)
S.Re = 0.0; S.Im = 0.0; for (n = 0; n < N; n++)
S.Re += x[n] * Math.Cos(2 * Math.PI * k * n / N); S.Im -= x[n] * Math.Sin(2 * Math.PI * k * n / N);
X[k].Re = S.Re; X[k].Im = S.Im;
for (k = 0; k < N; k++)
AS[k] = Math.Sqrt(Sqr(X[k].Re) + Sqr(X[k].Im)) / (N / 2); PS[k] = X[k].Re * X[k].Re + X[k].Im * X[k].Im; if (Math.Abs(X[k].Re) < 1e-5)
if (X[k].Im > 1e-5) FS[k] = 90; if (Math.Abs(X[k].Im) < 1e-5) FS[k] = 0; if ((X[k].Im < 0) && (Math.Abs(X[k].Im) > 1e-5)) FS[k] = -90;
else FS[k] = Math.Atan2(X[k].Im, X[k].Re) * 180.0 / Math.PI;
Див. також Ряд Фур'є Швидке перетворення Фур'є
Джерела
Посилання Дискретне перетворення Фур'є Властивості дискретного перетворення Фур'є Реалізація дискретного перетворення Фур'є на процесорі TMS320C55x фірми Texas Instruments Аналіз спектру сигналів