Апроксимація Паде — класичний метод раціональної апроксимації аналітичних функцій, названий на честь французького математика Анрі Паде. Метод полягає у зображенні функції у вигляді відношення двох поліномів, причому коефіцієнти цих поліномів визначені коефіцієнтами розкладу функції в ряд Тейлора: якщо є розкладання
то за допомогою апроксимації Паде можна оптимальним способом вибрати коефіцієнти і і отримати апроксимант
Використання цієї простої ідеї та її узагальнень призвело до багатьох результатів і перетворилося на фундаментальний метод дослідження.
Історія Авторство Паде ґрунтується на його дисертації 1892 H. Padé. Sur la représentation approchée d'une fonction par des fractions rationnellesThèse de Doctorat présentée à l'Université de la Sorbonne, 1892 (копія дисертації зберігається в бібліотеці Корнельського університету). У цій роботі він вивчав подібні апроксимації і розташував їх в таблицю, приділивши при цьому велику увагу експоненціальній функції.
Апроксимант Паде
Нехай є розкладання функції у степеневий ряд Тейлора:
, де — коефіцієнти ряду.
Апроксимантом Паде є раціональною функцією вигляду
розкладання якої в ряд Маклорена (ряд Тейлора з центром в нулі) збігається з розкладанням функції допоки це можливо. Функція такого виду має коефіцієнтів в чисельнику і — в знаменнику. Весь набір коефіцієнтів визначено з точністю до спільного множника, для визначенності нехай . Тоді маємо незалежних невідомих коефіцієнтів. Логічно припустити, що коефіцієнти розкладання в ряд Маклорена апроксиманта Паде і даної функції збігаються для , тобто для формального ряду виконується
Узагальнення Багатоточкові апроксимації Паде Апроксимації Бейкера-ГаммеляBaker, G. A., Jr.; and Graves-Morris, P. Padé Approximants. Cambridge U.P., 1996 Апроксимація функції декількох змінних Матричні апроксимації ПадеXu, Guoliang; Bultheel, Adhemar. Matrix Padé-approximation - definitions and properties, Linear Algebra and Its Applications, volume 137, pages 67-136, 1990 Апроксимація Паде-Чебишева Апроксимація Паде-Фур'є
Див. також Анрі Паде Таблиця Паде Апроксимація
Примітки
Джерела
Baker, G. A., Jr.; and Graves-Morris, P. Padé Approximants. Cambridge U.P., 1996 Brezinski, C.; and Redivo Zaglia, M. Extrapolation Methods. Theory and Practice. North-Holland, 1991
Frobenius, G.; Ueber Relationen zwischem den Näherungsbrüchen von Potenzreihen, [Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal)]. Volume 1881, Issue 90, Pages 1–17 Gragg, W.B.; The Pade Table and Its Relation to Certain Algorithms of Numerical Analysis [SIAM Review], Vol. 14, No. 1, 1972, pp. 1-62. Padé, H.; Sur la répresentation approchée d'une fonction par des fractions rationelles, Thesis, Ann. Ecole Nor. (3), 9, 1892, pp. 1-93 supplement.
Посилання
Module for Padé Approximation , John H. Mathews California State University, Fullerton Padé Approximants , Oleksandr Pavlyk, A Short Introduction to Padé Approximants, Jerome Soucy Université Laval Data Analysis BriefBook: Pade Approximation, Rudolf K. Bock European Laboratory for Particle Physics, CERN Sinewave, Scott Dattalo, last accessed 2010-11-11.