Тензорне поле — це відображення, яке кожній точці простору ставить у відповідність тензор.
Означення
Формально тензорне поле можна означити кількома способами.
Означення через поняття структури на многовиді
Використовуючи основне поняття диференціальної геометрії — структура на многовиді, — можна дати таке означення:
Нехай , і — простір тензорів типу з природним тензорним представленням групи , тоді структура типу є лінійною структурою першого порядку й називається тензорним полем (або тензорною структурою) типу .
Означення через поняття тензорного розшарування
Означуючи тензорне поле, можна відштовхуватися від поняття тензорного розшарування.
Тензорне поле — це перетин тензорного розшарування на диференційовному многовиді , ізоморфного в загальному випадку тензорному добутку дотичних та кодотичних розшарувань
Нестрогі означення
Менш формально тензорне поле можна розглядати як відображення, яке кожній точці розглянутого многовиду ставить у відповідність тензор постійної валентності.
Область застосування
Поняття тензорного поля природно виникає в механіці та фізиці суцільних середовищ під час опису анізотропних середовищ. Поняття тензорного поля знаходить застосування в усіх прикладних науках, де такі середовища розглядаються і вивчаються. Воно входить у математичний апарат загальної та спеціальної теорії відносності.
Розширене тензорне поле
Поняття розширеного тензорного поля виникає внаслідок розширення поняття тензорного поля у викладеному вище сенсі.
Нестрогі означення
Найпростіше розуміти таке розширення, зважаючи на нестроге означення, згідно з яким тензорне поле — це відображення, яке ставить у відповідність кожній точці многовиду деякий тензор фіксованої валентності , віднесений до цієї точки . Нехай тепер — деякий інший многовид, який є лінійним розшаруванням над , і нехай — канонічна проєкція для такого многовиду. Тоді розширене тензорне поле — це відображення, яке ставить у відповідність кожній точці у многовиді деякий тензор фіксованого валентності на віднесений до точки .
Список джерел