Теорема про розподіл простих чисел — теорема аналітичної теорії чисел, що описує асимптотику розподілу простих чисел. А саме, вона стверджує, що кількість простих чисел на відрізку від 1 до n зростає із зростанням n як , тобто
Інакше кажучи, це означає, що у випадково вибраного числа від 1 до n, для достатньо великих n, ймовірність виявитися простим приблизно рівна .
Також ця теорема може бути еквівалентним чином перефразована для опису поведінки -го простого числа : вона стверджує, що
(тут і далі запис означає ).
Історія Ґрунтуючись на таблицях простих чисел, складених Фелкелем і Вегою, Лежандр припустив в 1796 році, що функція може бути наближена виразом , де — константа, близька до . Гаус, розглядаючи те ж питання і використовуючи доступні йому результати обчислень і деякі евристичні міркування розглянув іншу функцію — інтегральний логарифм , проте не став публікувати цього твердження. Обидва наближення, як Лежандра, так і Гауса, приводять до однієї і тієї ж асимптотичної еквівалентності функцій і , вказаної вище, хоча наближення Гауса і виявляється істотно кращим, якщо при оцінці помилки розглядати різницю функцій замість їх відношення.
У двох своїх роботах, 1848 і 1850 роки, Чебишов довівН. І. Ахієзер, «П. Л. Чебышев и его научное наследие»., що верхня M і нижня m границі відношення
задовольняють нерівності , а також, що якщо границя відношення (*) існує, то вона рівна 1.
У 1859 році з'явилася робота Рімана, в якій він розглянув (введену Ейлером як функцію дійсного аргументу) -функцію в комплексній області, і пов'язав її поведінку з розподілом простих чисел. Розвиваючи ідеї цієї роботи, в 1896 році Адамар і Валле-Пуссен одночасно і незалежно довели теорему про розподіл простих чисел.
Нарешті, в 1949 році з'явилося доведення Ердеша—Сельберга, що не застосовує понять комплексного аналізу.
Загальний хід доказу
Переформулювання в термінах псі-функції Чебишова Загальним початковим етапом міркувань є переформулювання твердження за допомогою псі-функції Чебишова, що визначається як
іншими словами, псі-функція Чебишова це сума функції фон Мангольдта:
А саме, виявляється, що асимптотичний закон розподілу простих чисел рівносильний тому, що
Це твердження є вірним тому, що логарифм «майже сталий» на більшій частині відрізка , а внесок квадратів, кубів, і т. д. в суму (*) є малим; тому практично всі логарифми приблизно рівні , і функція асимптотично рівна .
Класичні міркування: перехід до дзета-функції Рімана
Як випливає з тотожності Ейлера
ряд Діріхле, що відповідає функції фон Мангольдта, рівний мінус логарифмічній похідній дзета-функції:
Крім того, інтеграл по вертикальній прямій, що знаходиться праворуч від 0, від функції рівний при і 0 при . Тому, множення правої і лівої частини на й інтегрування по вертикальній прямій по залишає в лівій частині суму з . З іншого боку, застосування теореми про лишки дозволяє записати ліву частину у вигляді суми лишків; кожному нулю дзети-функції відповідає полюс першого порядку її логарифмічної похідної, із лишком, рівним 1, а полюсу першого порядку в точці — полюс першого порядку з лишком, рівним .
Строга реалізація цієї програми дозволяє одержати явну формулу Рімана:
де сума обчислюється по нулях дзета-функції, що лежать у смузі , доданок відповідає полюсу у нулі, а доданок — так званим «тривіальним» нулям дзета-функції .
Відсутність нетривіальних нулів дзета-функції поза критичною смугою і спричиняє еквівалентність (сума у формулі (**) зростатиме повільніше, ніж x).
Елементарне доведення: завершення Ердеша—Сельберга
Основна теорема арифметики, що записується після логарифмування як
таким чином формулюється в термінах арифметичних функцій і згортки Діріхле як
де і — арифметичні функції, логарифм аргументу і тотожна одиниця відповідно.
Формула обертання Мебіуса дозволяє перенести у праву частину:
де — функція Мебіуса.
Сума лівої частини (**) — шукана функція . У правій частині, застосування формули гіперболи Діріхле дозволяє звести суму згортки до суми де — сума логарифма. Застосування формули Ейлера — Маклорена дозволяє записати як
де — стала Ейлера. Виділяючи з цього виразу доданки, що мають вигляд для відповідним чином підібраної функції F (а саме ), і позначаючи через R залишок, маємо через обертання Мебіуса
Оскільки залишається перевірити, що другий доданок має вигляд . Застосування леми Аскера дозволяє звести цю задачу до перевірки твердження де — сума функції Мебіуса.
Малість сум функції Мебіуса на підпослідовності випливає з формули обертання, застосованої до функції .
Далі, функція Мебіуса в алгебрі арифметичних функцій (з мультиплікативною операцією-згорткою) задовольняє «диференціальному рівнянню» першого порядку
де — диференціювання в цій алгебрі (перехід до рядів Діріхле перетворює його на звичайне диференціювання функції). Тому вона задовольняє і рівнянню другого порядку
Перехід до середнього у цьому рівнянні дозволяє те, що асимптотика суми функції оцінюється краще, ніж асимптотика сум , дозволяє оцінювати відношення M(x) /x через середні значення такого відношення. Така оцінка разом з «малістю за послідовністю» і дозволяє одержати шукану оцінку .
Див. також Стала простих чисел Функція розподілу простих чисел
Примітки
Посилання
Література
Jacques Hadamard. Sur la distribution des zéros de la fonction et ses conséquences arithmétiques. , Bull. Soc. Math. France, 24(1896), 199—220. Charles de la Vallée Poussin. Recherces analytiques sur la théorie des nombres premiers. Ann. Soc. Sci. Bruxells, 1897. П. Л. Чебышев, «Об определении числа простых чисел, меньших данной величины», 1848 П. Л. Чебышев, «О простых числах», 1850 Erdős, P. «Démonstration élémentaire du théorème sur la distribution des nombres premiers.» Scriptum 1, Centre Mathématique, Amsterdam, 1949. Selberg, A. «An Elementary Proof of the Prime Number Theorem», Ann. Math. 50, 305—313, 1949. А. Г. Постников, Н. П. Романов, «Упрощение элементарного доказательства А. Сельберга асимптотического закона распределения простых чисел», УМН, 10:4(66) (1955), с. 75-87