Алгебра Гейтінга — ґратка, що узагальнює Булеву алгебру, названа на честь Аренда Гейтінга. Алгебри Гейтінга постають як моделі інтуіціоністської логіки, логіки в якій закон виключення третього не виконується.
Визначення Алгебра Гейтінга H — обмежена ґратка (тобто існують 0 та 1), така що для всіх a,b ∈ H існує найбільший елемент x ∈ H такий, що
Цей елемент є відносним псевдо-доповненням a по відношенню до b, і позначається
Псевдо-доповненням довільного елемента x називається Отже, за визначенням, . Хоча, не завжди як це виконується в Булевій алгебрі.
Доповнена Алгебра Гейтінга — Алгебра Гейтінга, що є доповненою ґраткою.
Алгебраїчне визначення Алгебра Гейтінга H — обмежена ґратка, з бінарною операцією імплікації, тобто:
— дистрибутивний закон.
Приклади Булева алгебра є алгеброю Гейтінга, в якій імплікація визначена як p → q = ¬p ∨ q. Лінійно впорядкована множина що є обмеженою ґраткою є алгеброю Гейтінга, де p → q дорівнює q, якщо p>q, і 1 в протилежному випадку. Найпростішою алгеброю Гейтінга, що не є Булевою алгеброю є цілком впорядкована множина {0, ½, 1} з імплікацією, визначеною як в прикладі 2. Зауважимо, що не виконується закон виключення третього: .
Властивості
Загальні властивості Алгебра Гейтінга є дистрибутивною ґраткою. Частковий порядок ≤ на H може мати відновлений за допомогою операції → таким чином: для довільних a, b ∈ H, тоді і тільки тоді, коли
На відміну від багатозначної логіки, якщо в алгебрі Гейтінга (чи Булевій алгебрі) для деякого елемента: , тоді алгебра є одноелементною.
Закони де Моргана Один із законів де Моргана в алгебрі Гейтінга виконується без змін:
Інший виконується в слабшій формі:
Джерела