Квазіопукла функція — узагальнення поняття опуклої функції, що знайшло широке використання в нелінійній оптимізації, зокрема при застосуванні оптимізації до питань економіки.
Визначення
Нехай X — опукла підмножина . Функція називається квазіопуклою або унімодальною, якщо для довільних елементів і виконується нерівність:
Якщо також:
для і то функція називається строго квазіопуклою.
Функція називається квазіувігнутою (строго квазіувігнутою), якщо є квазіопуклою (строго квазіопуклою).
Еквівалентно, функція є квазіувігнутою, якщо
і строго квазіувігнутою якщо
Функція, яка одночасно є квазіопуклою та квазіувігнутою називається квазілінійною.
Приклади Довільна опукла функція є квазіопуклою, довільна увігнута функція є квазіувігнутою. Функція є квазілінійною на множині додатних дійсних чисел. Функція є квазувігнутою на множині (множина пар невід'ємних чисел) але не є ні опуклою, ні увігнутою. Функція є квазіопуклою і не є ні опуклою, ні неперервною.
Властивості
Функція , де — опукла множина, квазіопукла тоді і тільки тоді, коли для всіх множина
Доведення. Нехай множина опукла для будь-якого β. Зафіксуємо дві довільні точки та розглянемо точку Точки при . Оскільки множина опукла, то, а, отже, тобто виконується нерівність у визначенні і функція є квазіопуклою. Нехай функція f квазіопукла. Для деякого зафіксуємо довільні точки Тоді . Оскільки X — опукла множина, то для будь-якого точка . З означення квазіопуклості випливає, що , тобто . Отже, — опукла множина. Неперервна функція , де X — опукла множина в , квазіопукла тоді і тільки тоді, коли виконується одна з таких умов: f — неспадна; f — незростаюча; існує така точка , що для всіх функція f незростаюча, і для всіх функція f неспадна.
Диференційовні квазіопуклі функції
Нехай — диференційована функція на X, де — відкрита опукла множина. Тоді f квазіопукла на X тоді і тільки тоді, коли справджується співвідношення: для всіх .
Нехай f — двічі диференційовна функція. Якщо f квазіопукла на X, то виконується умова: для всіх .
Необхідні і достатні умови квазіопуклості і квазіувігнутості можна також дати через так звану обрамлену матрицю Гессе. Для функції визначимо для визначники:
Тоді справедливі твердження: Якщо функція f квазіопукла на множині X, тоді Dn(x) ≤ 0 для всіх n і всіх x з X. Якщо функція f квазіувігнута на множині X, тоді D1(x) ≤ 0, D2(x) ≥ 0, ..., (-1)mDm(x) ≤ 0 для всіх x з X. Якщо Dn(x) ≤ 0 для всіх n і всіх x з X, то функція f квазіопукла на множині X. Якщо D1(x) ≤ 0, D2(x) ≥ 0, ..., (-1)mDm(x) ≤ 0 для всіх x з X, функція f квазіувігнута на множині X.
Операції, що зберігають квазіопуклість
Максимум зважених квазіопуклих функцій з невід'ємними вагами, тобто де композиція з неспадною функцією (якщо — квазіопукла, — неспадна, тоді є квазіопуклою). мінімізація (якщо f(x,y) є квазіопуклою, C — опукла множина, тоді є квазіопуклою).
Посилання М.П. Моклячук Основи опуклого аналізу. К.:ТвіМС, 2004. – 240с. М.П. Моклячук, НЕГЛАДКИЙ АНАЛІЗ ТА ОПТИМІЗАЦІЯ Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe Convex Optimization
Література Alpha C Chiang, "Fundamental Methods of Mathematical Economics, Third Edition", McGraw Hill Book Company, 1984.