Теорема Рімана про умовно збіжний ряд — теорема стверджує, що перестановкою членів умовно збіжного ряду можна побудувати ряд, що збігається до якої завгодно суми чи взагалі розходиться. Названа на честь німецького математика Бернгарда Рімана.
Твердження
Нехай — умовно збіжний дійсний числовий ряд.
Для довільного числа
існує перестановка елементів така що
Доведення Позначимо:
Тоді:
Побудова перестановки Візьмемо довільне число . Побудова перестановки множини здійснюється наступним чином. Вибирається найменша достатня кількість послідовних додатних членів, щоб часткова сума перевищувала (це можливо згідно з (1)). Тоді вибирається найменша достатня кількість послідовних від'ємних членів, щоб часткова сума не перевищувала (це можливо згідно з (1)). Продовжуючи цю процедуру до нескінченності, одержуємо перестановку.
Збіжність
Нехай . Існує натуральне число що для всіх ,
Існує що для всіх ,
Наприклад, достатньо взяти .
Позначимо найменше число, строго більше для якого і мають протилежні знаки. Тоді виконується
Для , позначимо твердження
Вище було показано, що твердження є справедливим. Нехай воно справедливе для . Розглянемо два випадки:
Перший випадок
Тоді і
Другий випадок
Тоді і
Застосовуючи математичну індукцію, маємо:
що й доводить твердження.
Джерела