Границя числової послідовності

nn sin(1/n)10.84147120.958851…100.998334…1000.999983 Коли додатнє ціле число зростає, значення стає довільно близьким до . Тоді кажуть, що «границя послідовності дорівнює .»

Границя числової послідовності — фундаментальне поняття математичного аналізу, число, до якого члени послідовності прямують зі збільшенням індексу в сенсі наступного означення:

Дійсне число a називається границею числової послідовності , якщо

Позначення: або

При цьому також кажуть, що послідовність збігається до числа a, або має границю a. Послідовність, що збігається до деякої границі називається збіжною, в інших випадках — розбіжною.

Історія Грецький філософ Зенон Елейський відомий тим, що сформулював парадокси, що мають під собою процеси наближення до границі.

Левкіпп, Демокріт, Антіфон, Евдокс і Архімед розробили метод вичерпування, в яких використовують нескінченні послідовності для наближення, що давали змогу визначити площу або об'єм фігур. Архімед зміг розрахувати суми, що зараз називаються геометричними рядами.

Ньютон працював над рядами у своїх роботах Analysis with infinite series (укр. Аналіз нескінченних рядів, написана в 1669 році, поширювалася як рукопис і була опублікована в 1711), Метод флюксій і нескінченних рядів (укр. Аналіз нескінченних рядів, написана в 1671, опублікована в англійському перекладі в 1736, оригінал латиною було опубліковано набагато пізніше) і Tractatus de Quadratura Curvarum (написана в 1693, опублікована в 1704 як додаток до його Optiks). У своїй останній роботі, Ньютон розглядає біноміальне розкладання для (x + o)n, який він потім перетворює в лінійну форму за допомогою процедури розрахунку границі (задаючи, що o → 0).

У XVIII столітті, математики такі як Ейлер змогли успішно розрахувати суму деяких розбіжних рядів зупиняючи розрахунок в необхідний момент; вони не дуже турбувалися тим чи існує границя, чи ні, доки це можна було розрахувати. Наприкінці століття Жозеф-Луї Лагранж у своїй роботі Théorie des fonctions analytiques (1797) стверджував, що відсутність суворості у понятті перешкоджає подальшому розвитку числення. Гаусс у своєму етюді про геометричний ряд (1813) вперше чітко дослідив за яких умов ряд буде збіжним до границі.

Сучасне визначення границі (для будь-якого ε при якому існує індекс N такий що …) сформулювали Бернард Больцано (в роботі Der binomische Lehrsatz, Прага 1816, що була мало помічена в той час) і Карл Веєрштрасс в 1870-х.

Дійсні числа

Для дійсних чисел, число є границею послідовності якщо числа в цій послідовності стають все ближчими і ближчими до і більше ні до якого іншого числа.

Приклади Якщо при сталому значенні c, тоді .Доказ: нехай . Для кожного every , Якщо , тоді .Доказ: нехай + 1 (ціла частина з округленням вниз). Для кожного , . Для будь-якого даного дійсного числа, можна побудувати послідовність яка буде збігатися до даного числа за допомогою десяткового наближення. Наприклад, послідовність буде збігатися до . Варто зазначити, що десяткове представлення є границею іншої послідовності, яка визначається наступним чином .

Процедура знаходження границі послідовності не завжди очевидна. Двома такими прикладами є (границею якого є число e) і границя середнього арифметико-геометричного. Часто корисною для вирішення таких задач є стискна теорема.

Формальне визначення називають границею числової послідовності , якщо виконується наступна умова: Для кожного дійсного числа , існує таке натуральне число таке що, для кожного натурального числа , будемо мати . Іншими словами, для кожної міри близькості , елементи послідовності в кінцевому наближенні стають все ближчими до значення границі. Говорять, що послідовність збігається до або прямує до границі , і це записується як або .

Символічно, це матиме наступний вигляд:

Якщо послідовність збігається до деякої визначеної границі, тоді говорять що така послідовність є збіжною; в іншому випадку вона є розбіжною.

Ілюстрації

Властивості Границі числових послідовностей дозволяють над собою застосовувати звичайні арифметичні операції. Якщо і , тоді , і, якщо ні b, ні будь-яке з не дорівнюють нулю, .

Для будь-якої неперервної функції f, якщо тоді . Насправді будь-яка функція f дійсних значень є неперервною тоді і тільки тоді, коли вона являє собою границі послідовностей (хоча ця умова не завжди є необхідною, за умови застосування більш загального визначення неперервності).

Деякими іншими важливими властивостями границь послідовностей дійсних чисел є наступні (у кожному приведеному знизу рівнянні передбачається, що границі для правих частин виразів існують).

Границя послідовності є унікальною.

за умови, що

Якщо для всіх є більшою ніж деяке , тоді (Стискна теорема) Якщо для всіх , і , тоді . Якщо послідовність є обмеженою і монотонною тоді, вона є збіжною. Послідовність є збіжною, якщо кожна з її підпослідовностей є збіжною.

Ці властивості часто використовуються для доведення існування границі без необхідності безпосередньо доводити громіздке початкове формальне визначення. Як тільки було доведено, що стає легко довести, що , (), використовуючи наведені вище властивості.

Нескінченні границі

Говорять, що послідовність прямує до нескінченності, і позначають як або якщо, для кожного K, існує таке N, що для кожного , ; тобто, елементи послідовності зрештою є більшими ніж будь-яке постійне значення K. Аналогічно, якщо, для кожного K, існує таке N, що для кожного , . Якщо послідовність прямує до нескінченності, або до мінус нескінченності, то така послідовність є розбіжною (однак, розбіжна послідовність не обов'язково повинна прямувати до мінус чи плюс нескінченності: візьмемо, наприклад, ).

Метричні простори

Визначення

Точка x метричного простору (X, d) є границею послідовності (xn) якщо, для всіх ε > 0, існує таке N при якому, для будь-якого , . Це збігається із визначенням, що було дане для дійсних чисел коли і .

Властивості

Для будь-якої неперервної функції f, якщо тоді . Насправді функція f є неперервною тоді і тільки тоді, коли вона являє собою границі послідовностей.

Границі послідовностей є унікальними, якщо вони існують, оскільки окремі взяті точки лежать окремо і мають деяку додатну міру відстані між ними, тому для що є меншим за половину цієї відстані, елементи послідовності не можуть бути в межах відстані для двох точок одночасно.

Топологічні простори

Визначення

Точка x топологічного простору (X, τ) є границею послідовності (xn) якщо, для кожного околу U довкола x, існує таке N при якому, для кожного , . Це збігається із визначенням, що було дане для метричних просторів, якщо (X,d) є метричним простором а є топологією утвореною за допомогою d.

Границя послідовності точок у топологічному просторі T є особливим випадком границі функції: областю визначення якої є у просторі із індукованою топологією системи дійсних чисел розширеною до нескінченностей, ранг дорівнює T, а аргумент функції n прямує до +∞, яка в даному просторі є граничною точкою для .

Властивості

Якщо X це Гаусдорфів простір тоді границі послідовностей є унікальними, якщо вони існують. Варто зазначити, що це не обов'язково так в загальному випадку; зокрема, якщо дві точки x і y є , будь-яка послідовність яка збігається до x має збігатися до y і навпаки.

Послідовності Коші

Фундаментальна послідовність Коші, це така послідовність елементи якої врешті решт наближаються один до одного, після того як достатня кількість початкових елементів були відкинуті. Поняття послідовностей Коші є важливим при вивченні послідовностей в метричних просторах, і, зокрема, в аналізі функцій дійсної змінної. Одним із особливо важливим результатом в аналізі функцій дійсної змінної є критерій Коші щодо збіжності послідовностей: Послідовність дійсних чисел збігається тоді і тільки тоді, коли вона є послідовністю Коші. Цей критерій залишається достовірним і в інших повних метричних просторах.

Визначення для гіпердійсних чисел Визначення границі, в якому застосовуються гіпердійсні числа формалізує інтуїтивне розуміння, що для «дуже великого» значення індексу послідовності, відповідний терм буде «дуже близьким» до границі. Точніше, послідовність дійсних чисел прямує до L якщо для будь-якого нескінченного , елемент xH є нескінченно наближеним до L, тобто, різниця xH − L є нескінченно малою величиною. Еквівалентно, L є xH

.

Таким чином, границю можна визначити за допомогою наступної формули:

.

Де границя існує тоді і тільки тоді, коли права частина є незалежною від вибору нескінченного H.

Див. також

Теорема Штольца Від'ємний і додатний нуль

Література

Примітки

Доведення