У математиці точка називається ізольованою точкою підмножини (у топологічному просторі ), якщо точка є елементом підмножини і існує такий окіл цієї точки , який не містить жодних інших точок із даної підмножини . Це еквівалентно тому, що сінґлетон (одноелементна множина) є відкритою множиною в топологічному просторі (розглядається як підпростір простору ). Інше еквівалентне формулювання: елемент підмножини є ізольованою точкою підмножини тоді й лише тоді, коли він не є граничною точкою підмножини .
Якщо простір є евклідовим простором (або будь-яким іншим метричним простором), то елемент підмножини є ізольованою точкою підмножини , якщо навколо існує така відкрита куля, яка містить лише скінченну кількість елементів підмножини .
Пов'язані означення
Множина, яка складається лише з ізольованих точок, називається дискретною множиною (див. також дискретний простір). Будь-яка дискретна підмножина евклідового простору має бути зліченною, оскільки ізоляція будь-якої її точки разом із щільністю множини раціональних чисел у множині дійсних числах, означає, що точки підмножини можна відобразити в набір точок з раціональними координатами, яких є лише зліченно багато. Однак, не кожна зліченна множина є дискретною, канонічним прикладом є множина раціональних чисел у звичайній евклідовій метриці.
Множина, яка не має ізольованої точки, називається множиною (будь-який окіл точки містить інші точки множини). Замкнута множина без ізольованої точки називається досконалою множиною (вона включає всі граничні точки, і жодна з них не ізольована на ній).
Кількість ізольованих точок є , тобто, якщо два топологічні простори і є гомеоморфними, то кількість ізольованих точок у кожному просторі є однаковою.
Приклади
Стандартні приклади
Топологічні простори в наступних трьох прикладах розглядаються як підпростори вісі дійсних чисел в стандартній топології.
Для множини точка є ізольованою точкою. Для множини , кожна з точок є ізольованою точкою, але точка не є ізольованою точкою, оскільки в підмножини є інші точки, які як завгодно близькі до точки . Множина натуральних чисел є дискретною множиною.
У топологічному просторі з топологією , елемент є ізольованою точкою, навіть якщо належить до замикання елемента (і тому в якомусь значенні є "близьким" до ). Така ситуація є неможливою в гаусдофовому просторі.
Лема Морса стверджує, що невироджені критичні точки деяких функцій є ізольованими.
Два нелогічних приклади
Розглянемо набір точок з дійсного інтервалу такий, в якому кожна цифра їх двійкового представлення задовольняє наступним умовам:
Або або . лише для скінченної кількості індексів . Якщо позначає найбільший індекс такий, що , то . Якщо і , тоді виконується одна з наступних умов: або .
Неформально ці умови означають, що кожна цифра двійкового представлення , яка дорівнює , належить парі , за винятком в самому кінці.
Тепер ― це явна множина, що повністю складається з ізольованих точок, яка має нелогічну властивість, що замикання цієї множини є незліченною множиною.
Інший набір з такими ж властивостями можна отримати наступним чином. Нехай ― множина Кантора середніх третин, нехай ― інтервали компонентів , і нехай ― множина, що включає по одній точці з кожного такого інтервалу . Оскільки кожна точка інтервалу містить лише одну точку з множини , то будь-яка точка множини є ізольованою точкою. Однак, якщо є будь-якою точкою в множині Кантора, то кожен окіл точки містить принаймні один інтервал , а отже, принаймні одну точку з множини . Звідси випливає, що кожна точка множини Кантора лежить у замиканні множини , а отже, множина має незліченне замикання.
Див. також Ізольована точка кривої Точка дотику Гранична точка
Примітки
Джерела