Правило добутку — характерна властивість диференціальних операторів, також відома як тотожність Лейбніца.
Найважливішим і найпростішим прикладом є диференціювання функцій дійсної змінної. Якщо — дві диференційовні функції, то:
Подібна формула справедлива і для голоморфних функцій комплексної змінної.
Окрім аналізу диференціальні оператори часто виникають в диференціальній геометрії, абстрактній алгебрі, теорії груп Лі.
Доведення для функцій дійсної змінної
Нехай , і функції f, g — диференційовні в точці x. Тоді з властивостей границь одержуються наступні рівності, які доводять правило добутку для функцій дійсної змінної:
.
Варіації та узагальнення
Нехай — деякі k елементів на яких діє оператор диференціювання (наприклад функції дійсної змінної диференційовні в певній точці для прикладу звичайної похідної). Тоді за допомогою математичної індукції правило добутку можна узагальнити для випадку добутку 'k' елементів:
Позначивши і т. д. для оператора справедлива формула аналогічна до формули бінома Ньютона:
Для випадку добутку багатьох елементів справедлива формула аналогічна до формули мультинома:
Формули для похідних добутку функцій можна узагальнити на випадок функцій багатьох змінних. Нехай і є дійсними функціями n дійсних змінних, диференційовними необхідну кількість разів по різних змінних, і за означенням Тоді Означення біноміальних коефіцієнтів, факторіалів для мультиіндексів дано у статті Мультиіндекс. Операція на градуйованій алгебрі задовольняє градуйованій тотожності Лейбніца, якщо для будь-яких ,
де — множення в . Більшість диференціювань на алгебрі диференціальних форм задовольняє цій тотожності.
Джерела
https://web.archive.org/web/20180129165739/http://elib.lutsk-ntu.com.ua/book/knit/vm/2011/11-25/rozdil_01/rozd_01_3.htm http://posibnyky.vntu.edu.ua/m_a/page15.htm