Багатовимірний нормальний розподіл (чи багатовимірний гаусів розподіл) у теорії ймовірностей — це узагальнення одновимірного нормального розподілу для випадку із багатьма вимірами. Відповідно до одного із визначень стверджують, що вектор випадкових величин має k-варіативний нормальний розподіл якщо кожна лінійна комбінація його k компонент має одновимірний нормальний розподіл. В основному його важливість випливає із узагальнення центральної граничної теореми для багатьох вимірів. Багатовимірний нормальний розподіл часто використовують аби описати, принаймні наближено, будь-яку множину (можливо) корельованих випадкових величин із дійсними значенням, кожна з яких скупчується довкола середнього значення.
Позначення і параметризація Багатовимірний нормальний розподіл k-вимірного вектору випадкових величин може записуватися у формі наступної нотації:
або із метою явно зазначити, що X є k-вимірним:
із k-вимірним вектором середніх значень
і матрицею коваріацій
Визначення Випадковий вектор має багатовимірний нормальний розподіл, якщо виконується одне з наступних еквівалентних умов:
Довільна лінійна комбінація компонентів вектора має нормальний розподіл є константою. Існує вектор незалежних стандартних нормальних випадкових величин , дійсний вектор і матриця розмірності , такі що: .
Існує вектор і додатньо визначена симетрична матриця розмірності , такі що характеристична функція вектора має вид: .
Зауваження
Якщо розглядати тільки розподілу з невиродженою коваріаційною матрицею, то еквівалентним буде також наступне визначення:
Існує вектор і додатно визначена симетрична матриця розмірності , такі що щільність ймовірності вектора має вид:
,
де — визначник матриці , а — матриця зворотна до
Вектор є вектором середніх значень , а — його коваріаційна матриця У випадку , багатовимірний нормальний розподіл зводиться до звичайного нормального розподілу. Якщо випадковий вектор має багатовимірний нормальний розподіл, то пишуть .
Властивості
Якщо вектор має багатовимірний нормальний розподіл, то його компоненти мають одновимірний нормальний розподіл. Зворотне, узагалі говорячи, невірно (див. приклад )! Якщо випадкові величини мають одномірний нормальний розподіл і спільно незалежні, те випадковий вектор має багатовимірний нормальний розподіл. Матриця коваріацій такого вектора діагональна. Якщо має багатовимірний нормальний розподіл, і його компоненти попарно некорельовані, то вони незалежні. Однак, якщо тільки компоненти мають одномірний нормальний розподіл і попарно не корелюють, те звідси не випливає, що вони незалежні.
Контрприклад. Нехай , а з рівними ймовірностями. Тоді якщо , те кореляція і дорівнює нулю. Однак, ці випадкові величини залежні. Багатовимірний нормальний розподіл стійко щодо лінійних перетворень. Якщо , а — довільна матриця розмірності , то .
Функція густини
Не вироджений випадок Багатовимірний нормальний розподіл називають "не виродженим" коли його симетрична матриця коваріацій є додатньоозначеною. В такому випадку розподіл має функцію густини:UIUC, Lecture 21. The Multivariate Normal Distribution , 21.5:"Finding the Density".
де це k-вимірний вектор стовпець дійсних чисел і це детермінант для , відомий також як узагальнена дисперсія. Вищенаведене рівняння спрощується до аналогічного рівняння, що відповідає одновимірному нормальному розподілу якщо є матрицею розміром (тобто єдиним дійсним числом).
Циркулярно-симетрична версія комплексного нормального розподілу має дещо відмінну форму.
Кожен окіл ізо-густини—окіл точок в k-вимірному просторі, в кожній з яких буде деяке стале значення густини —є еліпсом або його узагальненням для більших вимірів; оскільки багатовимірний нормальний розподіл є особливим випадком еліптичних розподілів.
В описовій статистиці відомо як відстань Махаланобіса, яка задає відстань обраної точки від середнього . Зауважте, що у випадку коли , розподіл зводиться до одновимірного нормального розподілу, і відстань Махаланобіса зводиться до абсолютного значення стандартної оцінки.
Біваріативний випадок У 2-вимірному несингулярному випадку (), функція густини імовірності для вектору є наступною:
де ρ — кореляція між X і Y і де і . В такому випадку,
У біваріативному випадку, перша еквівалентна умова встановлення нормальності багатовимірного розподілу може бути менш сувора: для того, щоб зробити висновок чи є вектор біваріативно нормальним достатньо перевірити чи зліченно велика кількість відмінних лінійних комбінацій X і Y є нормально розподілені.
Біваріативні околи ізо-густини на площині x,y є еліпсами. Із збільшенням абсолютного значення коефіцієнту кореляції ρ, ці околи будуть сплющуватися до наступної прямої :
Це пояснюється тим, що якщо в даному виразі sgn(ρ) замінити на ρ, воно є для Y, що задане значенням X.
Багатовимірна центральна гранична теорема Нехай — послідовність незалежних і однаково розподілених випадкових векторів, кожний з який має середнє і невироджену матрицю коваріацій . Позначимо через вектор часткових сум. Тоді при має місце збіжність розподілів векторів , де має розподіл . В умовах багатовимірної центральної граничної теореми розподіл будь-яких неперервних функцій збігається до розподілу . Як нам буде потрібна тільки .
Наслідок В умовах багатовимірної центральної граничної теореми має місце збіжність .
Примітки