У математиці, нормою матриці вважають розширенням терміна векторної норми на матриці.
Нехай у просторі векторів визначена норма вектора . Тоді нормою матриці називають число .
Прямі вирази У залежності від конкретної норми для векторів можна знайти прямі вирази для норми матриці. Нижче наведені три поширені норми: . Тоді . Тоді . Тоді , де — власні значення матриці .
Векторні норми Матрицю розмірності можна трактувати як вектор довжини і застосовувати до нього норму вектора.
Норма Фробеніуса Виглядає так:
Властивості норми матриці Хай позначає поле з дійсних чи комплексних чисел. Хай позначає векторний простір, що містить всі матриці з рядків та стовпців з елементами типу .
Якщо позначає норму матриці , тоді для неї виконуються такі властивості:
якщо та тоді і тільки тоді, коли та
Крім того, у випадку квадратних матриць, деякі (не всі) норми задовольняють наступну властивість, яка пов'язана з тим, що матриці — це більш ніж вектор:
для всіх та з
Норма матриці що задовільняє цю властивість називається субмультиплікативною нормою (деякі підручники використовують термін "норма матриці" виключно для субмультиплікативних норм).
Множина квадратних матриць з нормою, що задовольняє останню властивість утворює банахову алгебру.
Узгоджені норми Матрична норма на називається узгодженою () з векторними нормами і на і відповідно, якщо:
для всіх . Усі індуковані норми узгодженні за означенням.
Сумісні норми Матрична норма на називається сумісною () з векторною нормою на якщо:
для всіх . Індукована норма сумісна за означенням.
Джерела