В математиці міра Хаара — міра на локально компактних топологічних групах, що узагальнює міру Лебега в евклідових просторах. Названа на честь угорського математика Альфреда Хаара.
Визначення
Нехай G локально-компактна топологічна група. Якщо a елемент групи G і S — підмножина G, тоді можна визначити ліві і праві перенесення: Ліве перенесення:
Праве перенесення:
Ліві і праві перенесення множин Бореля є множинами Бореля.
Міра μ на борелівських підмножинах G називається інваріантною щодо лівих перенесень якщо і тільки якщо для всіх борелівських підмножин S групи G і всіх виконується:
Подібним чином визначається інваріантність щодо правих перенесень. Борелівська міра називається регулярною, якщо виконуються умови: μ(K) є скінченною для довільної компактної множини K. Довільна борелівська множина E задовольняє умову зовнішньої регулярності: де U — відкрита множина.
Довільна відкрита множина E задовольняє умову зовнішньої регулярності: де K — компактна множина. Для довільної локально-компактної топологічної групи існує єдина з точністю до множення на константу регулярна борелівська міра, що є інваріантною щодо лівих перенесень, і ненульовою . Дана множина називається лівою мірою Хаара. Також існує єдина з точністю до множення на константу регулярна борелівська міра, що є інваріантною щодо правих перенесень, ненульовою. Дана множина називається правою мірою Хаара.
Зв'язок між правими і лівими борелівськими мірами
Нехай G локально-компактна топологічна група і — ліва і права міри Хаара на ній.
Якщо — борелівська множина, і — множина обернених елементів до елементів S то де — ліва міра Хаара, є правою мірою Хаара. Дійсно:
Оскільки права міра Хаара є єдиною з точністю до множення на константу, то виконується:
для всіх борелівських множин S, де k — деяке додатне дійсне число.
Інтеграл Хаара
За допомогою міри Хаара можна визначити інтеграл, для всіх вимірних функцій f з аргументами з G. Цей інтеграл називається інтегралом Хаара. Якщо μ — ліва міра Хаара, тоді:
Див. також
Локально компактна група
Література
Вейль А. Интегрирование в топологических группах и его применения. — М.: ИЛ, 1950. Наймарк М. А. Нормированные кольца. — М.: Наука, 1968. Donald L. Cohn, Measure theory, Birkhäuser, 1997. ISBN 3-7643-3003-1.