У математиці однорідним многочленом називається многочлен у якого усі ненульові члени мають однаковий степінь. Наприклад, — однорідний многочлен -го степеня з двома змінними; сума показників у кожному доданку завжди дорівнює . Многочлен не є однорідним, оскільки сума показників для різних одночленів не є однаковою. Функція визначена однорідним многочленом завжди є однорідною функцією.
Алгебрична форма або просто форма — функція, визначена однорідним поліномом.Однак деякі автори не роблять чіткої різниці між поліномом і пов'язаною з ним функцією, терміни однорідний поліном та форма іноді вважаються синонімами. Бінарна форма — форма з двома змінними. Форма — це також функція, визначена у векторному просторі, яку можна представити як однорідну функцію координат для довільного базису.
Многочлен степеня завжди є однорідним; він просто є елементом поля або кільця коефіцієнтів, зазвичай його називають константою або скаляром. Форма степеня є лінійною формою.Лінійні форми визначаються лише для скінченновимірного векторного простору, тому їх слід відрізняти від лінійних функціоналів, які визначені для будь-якого векторного простору. “Лінійний функціонал“ рідко використовується для скінченновимірних векторних просторів. Форма степеня є квадратичною формою. Наприклад, у геометрії евклідова відстань є квадратним коренем із квадратичної форми.
Однорідні многочлени є широко поширеними в математиці та фізиці.Однорідні поліноми у фізиці часто виникають як наслідок методу аналізу розмірностей, де вимірні величини повинні збігатися у реальних задачах. Вони відіграють фундаментальну роль в алгебричній геометрії, оскільки проективний многовид за означенням є множиною спільних нулів множини однорідних многочленів.
Властивості Однорідний многочлен визначає однорідну функцію. Це означає, що якщо многочлен від змінних є однорідним степеня , то
виконується для будь-якого і для будь-якого поля, що містить коефіцієнти многочлена . І навпаки, якщо вищезгадане співвідношення справедливе для нескінченної кількості , то многочлен є однорідним степеня . Зокрема, якщо многочлен є однорідним, то
для будь-якого . Ця властивість є фундаментальною при визначенні проективного многовида.
Будь-який ненульовий многочлен можна єдиним чином розкласти як суму однорідних многочленів із різними степенями, які називаються однорідними компонентами многочлен а.
Для заданого кільця многочленів над полем (або, у загальному випадку, кільцем) однорідні многочлени степеня утворюють векторний простір (або модуль), який зазвичай позначається як . Наведений вище однозначний розклад означає, що є прямою сумою модулів (сума за всіма невід'ємними цілими числами).
Розмірність векторного простору (або вільного модуля) — це кількість різних одночленів степеня з змінними і одиничним коефіцієнтом (тобто максимальна кількість ненульових членів в однорідному поліномі степеня від змінних). Вона дорівнює біноміальному коефіцієнту
Однорідний многочлен задовольняє тотожність Ейлера для однорідних функцій: якщо є однорідним многочленом степеня від невідомих , то:
де означає формальну частинну похідну від відносно .
Гомогенізація Для неоднорідного многочлена існує однорідний відповідник, який називається гомогенізацією многочлена. Його можна одержати, ввівши додаткову змінну і визначивши однорідний многочлен :
де степінь многочлена . Наприклад для многочлена
його гомогенізація є рівною
Навпаки неоднорідний многочлен одержується з однорідного, якщо ввести заміну .Тобто
Див. також
Градуйована алгебра Многочлен Гільберта
Мультилінійна функція
Поліном Шура
Примітки
Джерела