Теорема Морлі про трисектриси трикутника — одна з найдивовижніших теорем геометрії трикутника.
Теорема стверджує:
На рисунку праворуч три різнокольорових кута при кожній вершині великого трикутника рівні між собою. Теорема стверджує, що незалежно від вибору великого трикутника, маленький фіолетовий трикутник буде рівностороннім.
Теорема Морлі не виконується в сферичнійMorley's Theorem in Spherical Geometry. і гіперболічній геометрії.
Теорема Морлі для трисектрис зовнішніх кутів трикутника
Теорема також справедлива для зовнішніх кутів трикутника:
Крім того продовження трисектрис внутрішніх кутів також перетинаються з суміжними трисектрисами зовнішніх кутів у вершинах цих трикутників.
Історія Теорема була відкрита в 1904 . Тоді він розповів про неї друзям з Кембриджського університету, а опублікував її в 1924 році, коли він був у Японії.. За цей час вона була незалежно опублікована як задача в часописі «Educational Times».
Доведення Існує багато способів доведення теореми Морлі, деякі з яких дуже технічні.
Кілька ранніх доведень ґрунтувалися на тригонометричних розрахунках. До одних з крайніх доведень теореми належать алгебричне доведення Алена Конна (1998, 2004), яке поширює теорему на загальні поля, окрім тих що мають характеристику три, і доведення Джона Конвея, що спирається на елементарну геометрію. Останній починається з рівностороннього трикутника і показує, що навколо нього можна побудувати трикутник, подібний до будь-якого обраного трикутника.
Трикутники Морлі Теорема Морлі містить 18 спеціальних трикутників (рівносторонніх і різносторонніх), які виникають при перетині трисектрис трикутника.
Правильний трикутник, описаний вище в теоремі про трисектриси внутрішніх кутів, називається першим трикутником Морлі, і має довжину сторони:
та площу:
де R — радіус описаного кола початкового трикутника, а A, B та C — його внутрішні кути.
З першим трикутником Морлі також пов'язані дві чудові точки трикутника — перша та друга , які в Енциклопедії центрів трикутника ETC Кларка Кімберлінга мають номери X(356) та X(357).
Див. також Трисекція кута — задача про побудову трисектрис кута за допомогою циркуля та лінійки Трисектриса
Примітки
Джерела
Посилання
Morley's Trisection Theorem на MathPages