Фо́рмула Га́усса — Бонне́ пов'язує Ейлерову характеристику області двовимірного многовида з кривиною Гаусса в цій області та геодезичною кривиною кривої, яка обмежує область.
Формулювання
Нехай — компактний двовимірний орієнтований ріманів многовид із гладкою межею . Позначимо через гаусову кривину та через геодезичну кривину . Тоді
де — ейлерова характеристика .
Зокрема, якщо у межа відсутня, отримуємо спрощений вираз
Якщо поверхня деформується, то її ейлерова характеристика не змінюється, в той час як гаусова кривина може змінюватися в кожній точці. Проте, згідно з формулою Гаусса — Бонне, інтеграл гаусової кривини залишається не змінним.
Пояснення позначень
Топологія областей інтегрування
Область обмежена. Але вона може бути доволі складною, мати одну або кілька компонент зв'язності:
Очевидно, що при цьому перший інтеграл в формулі (1) розбивається на суму інтегралів по компонентах.
Кожна з цих компонент в свою чергу може бути топологічно складною.
Зокрема область може повністю покривати замкнутий многовид (наприклад сферу, тор, …) і не мати межі зовсім — тоді другого інтеграла в формулі (1) не буде:
В інших випадках межа області може складатися з одного контуру (наприклад якщо область гомеоморфна кругу), або більшої кількості контурів (наприклад якщо область є кільцем між двома концентричними колами):
В цих випадках інтеграл по межі також розбивається на суму інтегралів по .
Кривини
Буквою під першим інтегралом (1) позначено кривиною Гаусса другого степеня, яка для двовимірного многовида дорівнює половині скалярної кривини:
Геодезична кривина кривої взагалі кажучи є вектором, ортогональним до одиничного дотичного вектора , і який лежить у многовиді. Але в формулі (1) через позначено скалярну величину — проєкцію вектора геодезичної кривини на напрям нормалі, напрямленої всередину області .
Запишемо вищесказане математично. Компоненти вектора геодезичної кривини обчислюються через тензорну похідну одиничного дотичного вектора по натуральному параметру кривої:
Нормаль до вектора можна утворити дією одиничного антисиметричного тензора , а тому (при належному виборі напрямку обходу контуру):
Коефіцієнт в правій частині формули (7) той самий, який стоїть під другим інтегралом в формулі (1).
Злами на контурах
В попередньому підпункті ми розглядали гладкий контур . Але неважко, використовуючи граничний перехід, узагальнити формулу (1) для кусково-гладкої межі яка складається з гладких дуг, що сходяться під деяким кутом між собою (дивіться наприклад статтю Геодезичний трикутник).
Якщо в точці зламу дотичний вектор розвертається на кут в сторону області (може бути додатне чи від'ємне число) то формула (1) узагальнюється до такої:
В цій формулі другий інтеграл береться по гладких ділянках дуг межі .
Для виводу формули (8) область , яка має злами на межі, треба апроксимувати областю , яка має згладжені кути. Потім радіус закруглення на кутах спрямовуємо до нуля.
Ейлерова характеристика
Обмежену двовимірну область можна розбити лініями на кілька менших підобластей , гомеоморфних кругу. Лінії в свою чергу можна поділити точками на дуги, гомеоморфні відрізку. Якщо позначити кількість точок буквою (вершини графу), кількість дуг буквою (ребра графу), а кількість підобластей буквою (грані), то наступне ціле число:
не залежить від способу розбивки області і називається характеристикою Ейлера. Для кожної підобласті можна знайти карту (систему координат ), яка відображає область Евклідової площини в .
Три етапи доведення теореми Гаусса — Бонне
На першому етапі доводимо теорему для простої області, гомеоморфної кругу, з гладкою границею. На другому етапі граничним переходом поширюємо теорему на просту область з кутами. На третьому (топологічному) етапі об'єднуємо та склеюємо прості області в довільну область і показуємо, що при операціях об'єднання та склейки формула (1) залишається справедливою.
Перший етап доведення
Обчислення характеристики Ейлера
Обчислимо характеристику Ейлера для простої області . Межа цієї області є контуром , гомеоморфним колу. Поставимо на цьому контурі дві точки і , які розбивають наш контур на дві дуги, гомеоморфні відрізку. Маємо дві вершини, два ребра і одну грань — саму область , тому за формулою (9) маємо:
і нам треба довести наступну формулу для цього випадку:
Вектори на контурі
Візьмемо точку на контурі . Позначимо буквою вектор нормалі до контуру, напрямлений всередину області . При належному виборі напрямку обходу контуру компоненти цього вектора виражаються через дотичний вектор та одиничний антисиметричний тензор :
При обході контуру, очевидно, вектори і повернуться на кут і збіжаться з початковими значеннями цих векторів.
Щоб простежити, як здійснюється цей поворот, розглянемо паралельне перенесення векторів. Як відомо, при паралельному перенесенні двох векторів зберігаються довжини векторів і кут між ними.
Нехай вектори і збігаються з векторами і в початковій точці , але потім при обході контуру переносяться паралельно і після обходу виявляються повернутими на деякий кут . Ці два вектора утворюють ортонормований базис:
Розкладемо одиничний дотичний вектор за базисом :
де — кут, на який повернутий вектор відносно вектора . На початку обходу .
В кінці обходу вектор повернеться на кут , а вектор на кут , тому:
Повороти векторів на контурі і геодезична кривина
Маємо такі тензорні диференціали векторів вздовж контуру:
тому при диференціюванні рівності (15) одержуємо:
Порівнюючи формули (20) і (7) знаходимо:
Порівнюючи формули (22) і (11) одержуємо таку формулу, яку нам лишається довести:
Застосування формули Остроградського — Гаусса
В лівій частині формули (23) стоїть інтеграл по двовимірній області , а в правій — поворот вектора при паралельному перенесенні довкола межі області , який природно буде виразити через контурний інтеграл. Ці два інтеграла — інтеграл по двовимірній області і інтеграл по межі цієї області можна пов'язати через застосування формули Остроградського — Гаусса. Але для цього нам знадобиться допоміжне векторне поле, яке визначене і диференційовне скрізь всередині області та на її межі .
Вибір допоміжного векторного поля
Оскільки на контурі нас можуть цікавити лише кути між векторами а не їхні довжини, то доцільно вибрати допоміжне векторне поле одиничної довжини, причому не лише на контурі, а і скрізь всередині області :
Очевидно що умова (24) разом з неперервністю поля накладає деякі обмеження — це поле не може мати всередині точок завихрення або точок, із яких вектори розходяться (або навпаки, сходяться) в різні боки. В усьому іншому поле досить довільне.
Наприклад (хоч і необов'язково) можна взяти вектор напрямлений вздовж одного з координатних векторів. Коваріантні координати цього вектора:
Обчислення повороту вектора при паралельному перенесенні по контуру
На контурі розкладемо одиничний вектор по базису :
Тут вектори і ті ж самі що і раніше в цій статті — здійснюють паралельний обхід контуру.
Кут між векторами є функцією від натурального параметра на контурі :
Оскільки при обході контуру вектор не змінює напрямку, а вектор повертається на кут то:
Знак мінус в цій формулі виник внаслідок того, що повертається сам базис, відносно якого ми міряємо .
Продиференціюємо формулу (26) вздовж кривої :
Тензорний диференціал вектора можна записати через коваріантну похідну:
Права ж частина формули (29) виражається через вектор:
який є одиничним вектором, повернутим на кут щодо вектора .
Одержання контурного інтеграла
Підставивши (30) і (31) в формулу (29), ми одержимо векторне рівняння:
в якому нас цікавить скалярна функція .
Помножимо (32) скалярно на одиничний вектор і візьмемо інтеграл:
Інтеграл в лівій частині цієї рівності фактично є інтегралом по контуру.
Для застосування формули Остроградського — Гаусса нам потрібно, щоб підінтегральний вираз був скалярним добутком деякого вектора на вектор зовнішньої нормалі (в наших старих позначеннях це ).
Фактичне застосування формули Остроградського — Гаусса
Домножимо рівняння (12) на , після цього знайдемо дотичний вектор :
і підставити його в підінтегральний вираз формули (33), одночасно перейменовуючи індекси:
Вираз у дужках в правій частині цього рівняння і буде тим вектором :
який підставляємо в рівняння (33):
Інтеграл являє собою потік вектора всередину контуру , враховуючи наш вибір напрямку нормалі . Застосовуючи формулу Остроградського — Гаусса (і враховуючи знак) маємо інтеграл від дивергенції:
Завершення обчислень
Порівнюючи формули (38) і (23) ми бачимо що для завершення першого етапу нам досить перевірити рівність підінтегральних виразів цих формул:
Дивергенція вектора (36) розкладається на два доданка:
Розпочнемо з другого доданку, а ще краще з частини цього доданку окрім множника . Оскільки тензор антисиметричний, то:
Тензор Рімана для двовимірного многовида можна виразити через кривину Гаусса K:
Тому вираз (41) спрощується:
а отже другий доданок формули (40) просто дорівнює Гауссовій кривині:
Залишається показати, що перший доданок формули (40) дорівнює нулю.
Це прямо слідує з того факту, що похідні одиничного двовимірного вектора факторизуються (розкладаються на множники):
Дійсно, підставляючи (46) в (45) одержимо вираз:
в якому скалярний добуток векторів в других дужках дорівнює нулю.
Нарешті покажемо справедливість розкладу (46). Із одиничності вектора слідує:
Оскільки вектор також ортогональний до то маємо наступну однорідну систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими :
Ця система має ненульовий розв'язок, тому матриця її коефіцієнтів:
вироджена і рядки цієї матриці пропорційні. Тобто ми маємо друге рівняння (46). Перше рівняння одержується аналогічно.
Формулу (11) доведено.
Другий етап доведення
Розглянемо просту область з кусково-гладкою межею. Ми можемо згладити всі кути, вписуючи гладку дугу в кожен криволінійний кут (див. малюнок).
Одержуємо область з гладкою межею, до якої можна застосувати теорему Гаусса — Бонне, доведену на першому етапі. Спробуємо здійснити граничний перехід формули (11) стягуючи дугу в точку зламу .
Перший інтеграл формули (11) для згладженої і незгладженої кривих, відрізняється на величину інтеграла по криволінійному трикутнику
Оскільки площа цього трикутника прямує до нуля, а Гауссова кривина обмежена, то і величина (51) прямує до нуля. Отже при граничному переході перший інтеграл
зберігає свій вигляд, просто область може мати злами на контурі.
З другим (контурним) інтегралом складніше. Розглянемо спочатку випадок плоского многовида (евклідову площину). В цьому разі паралельне перенесення не залежить від шляху і тому можна говорити про кут між векторами, що знаходяться в різних точках. Інтегрування геодезичної кривини по дузі , згідно з формулою (22), дає кут між дотичними в точках і :
При граничному переході ця величина прямує до кута між двома дотичними векторами в точці зламу :
а інтеграли по (викинутих при згладжуванні) дугах і прямують до нуля, оскільки геодезична кривина цих дуг залишається обмеженою, а їхня довжина зменшується до нуля.
Із формули (54) слідує формула (8) при , що і треба було довести.
Нам ще залишається довести, що формула (54) має місце і в загальному випадку викривленого многовида. Виберемо систему координат на мн оговиді в околі точки таку, що метричний тензор в точці записується одиничною матрицею , а символи Крістофеля в цій точці дорівнюють нулю.
Дану систему координат можна розглядати як дифеоморфне відображення між областю многовиду та областю площини (картою), в якій ця система координат є декартовою.
Позначимо елемент довжини кривої на карті:
а буквою з тильдою — геодезичну кривину кривої на карті. Тоді:
Крапками позначено похідні по параметру .
Із двох останніх формул уже можна зробити висновок про однаковість, з точністю до нескінченно малих доданків, двох інтегралів від геодезичної кривини по дузі , один з яких береться по многовиду, а другий по карті: