Не плутати з іншими інтегралами експоненційних функцій.
У математиці експоненційний інтеграл Ei — це спеціальна функція на комплексній площині. Він визначається як певний визначений інтеграл від відношення експоненційної функції та її аргументу.
Означення
Для дійсних ненульових значень експоненційний інтеграл Ei() визначається як
.
Алгоритм Ріша показує, що Ei не є елементарною функцією. Вищенаведене означення може бути використане для додатних значень , але інтеграл слід розуміти у термінах головного значення за Коші через особливість підінтегральної функції в нулі.
Для комплексних значень аргументу означення стає неоднозначним через точки розгалуження у 0 та Abramowitz and Stegun, p. 228, 5.1.1. Замість Ei використовується наступне позначення,
(зауважимо, що для додатних значень : ).
Загалом, розгалуження здійснюється по від'ємній дійсній осі, і можна визначити за допомогою аналітичного продовження на комплексну площину.
Для додатних значень дійсної частини це можна записати якAbramowitz and Stegun, p. 228, 5.1.4 with n = 1
Поведінка біля точки розгалуження визначається наступним співвідношеннямAbramowitz and Stegun, p. 228, 5.1.7:
Властивості
Декілька властивостей експоненційного інтегралу, що наведені нижче, у деяких випадках дозволяють уникнути його явного оцінювання через вищенаведене означення.
Збіжний ряд
Для дійсних або комплексних аргументів, які знаходяться поза від'ємною дійсною віссю, може бути виражений якAbramowitz and Stegun, p. 229, 5.1.11
де — константа Ейлера–Маскероні. Ряд збігається для всіх комплексних , і ми беремо звичайне значення комплексного логарифма, який має розгалуження вздовж від'ємної дійсної осі.
Ця формула може бути використана для обчислення в операціях з плаваючою комою для дійсного між та . Для результат неточний через втрату значущості.
Ряд який збігається швидше знайшов Рамануджан:
Даний збіжний ряд може використовуватися для отримання асимптотичних оцінок, наприклад,
для .
Асимптотичний (розбіжний) ряд
На жаль, збіжність рядів що наведені вище є повільною для великих за модулем аргументів. Наприклад, для потрібно більше 40 членів, щоб для отримати у відповіді перші три правильні цифри.Bleistein and Handelsman, p. 2 Однак існує апроксимація розбіжним рядом, який можна отримати інтегруючи частинами:Bleistein and Handelsman, p. 3
з похибкою порядку і яка може використовуватися при великих значень . Відносна похибка такої апроксимації приблизно зображена на рисунку (для різних значень кількості доданків у сумі).
Експоненційна та логарифмічна поведінка: двобічна оцінка
З двох рядів, які показані в попередніх підрозділах випливає, що поводиться як від'ємна експонента для великих значень аргументу, і як логарифм — для малих значень. Для додатних дійсних значень аргументу можна обмежити елементарними функціями наступним чиномAbramowitz and Stegun, p. 229, 5.1.20:
На рисунку ліва частина цієї нерівності зображена синім кольором, центральна частина позначена чорним кольором, а права частина нерівності — червоним.
Означення Ein
Функції і можна записати простіше, використовуючи цілу функцію Abramowitz and Stegun, p. 228, see footnote 3., визначену як
(зауважте, що це лише знакозмінний ряд у наведеному вище означенні ). Тоді
Зв'язок з іншими функціями
Диференціальне рівняння Куммера
як правило, розв'язується за допомогою та . Але при та рівняння набуває вигляду
і для всіх
.
Другий розв'язок подається через . А саме,
.
Інший зв'язок з виродженими гіпергеометричними функціями полягає в тому, що — це добуток експоненційної функції та :
.
Експоненційний інтеграл тісно пов'язаний з логарифмічною інтегральною функцією за допомогою формули
для ненульових дійсних значень .
Експоненційний інтеграл можна також узагальнити до функції
,
яку можна записати як частковий випадок неповної гамма-функціїAbramowitz and Stegun, p. 230, 5.1.45:
.
Таку узагальнену форму іноді називають функцією МізраAfter Misra (1940), p.~178, , що визначається як
.
З використанням логарифма визначає узагальнену інтегро-експоненційну функціюMilgram (1985)
.
Невизначений інтеграл
за формою схожий на звичайну твірну функцію для , кількість дільників числа :
.
Похідні
Похідні узагальнених функцій можна обчислювати за формулоюAbramowitz and Stegun, p. 230, 5.1.26:
.
Зауважимо, що функція — це просто Abramowitz and Stegun, p. 229, 5.1.24, і таким чином таке рекурсивне співвідношення досить зручне.
Експоненційний інтеграл уявного аргументу
Якщо є уявним та має невід'ємну дійсну частину, то можна використовувати формулу
для співвідношення з тригонометричними інтегралами та :
.
Дійсні та уявні частини функції зображені на рисунку.
Наближення
Існує ряд наближень для експоненційної інтегральної функції. Зокрема,
Наближення Сваме та ОхіїGiao, Pham Huy (2003-05-01). ``Revisit of Well Function Approximation and An Easy Graphical Curve Matching Technique for Theis' Solution''. Ground Water. 41 (3): 387—390
,
де
,
.
Наближення Аллена та ГастінгсаTseng, Peng-Hsiang; Lee, Tien-Chang (1998-02-26). ``Numerical evaluation of exponential integral: Theis well function approximation''. Journal of Hydrology. 205 (1–2): 38–51.
де
Неперервний ланцюговий дріб .
Наближення Баррі зі співавторамиBarry, D. A; Parlange, J. -Y; Li, L (2000-01-31). ``Approximation for the exponential integral (Theis well function)''. Journal of Hydrology. 227 (1–4): 287—291.
,
де
,
,
,
,
,
— стала Ейлера — Маскероні.
Застосування
Залежність теплообміну від часу. Нерівноважний потік ґрунтових вод у рівнянні Тейса (функція свердловини). Переміщення радіації у міжзоряному просторі та земній атмосфері. Рівняння радіальної дифузії для перехідного або нестаціонарного потоку з лінійними джерелами та стоками. Розв'язок рівняння переміщення нейтронів у спрощеній 1-D геометріїGeorge I. Bell; Samuel Glasstone (1970). Nuclear Reactor Theory. Van Nostrand Reinhold Com\-pany..
Див. також
Стала Рамануджана — Зольднера
Виноски
Джерела
, Chapter 5.
Посилання
NIST documentation on the Generalized Exponential Integral
Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals in DLMF.