Поліноми Лаґерра — ортогональні поліноми, названі на честь французького математика Едмона Лаґерра.
Визначення
Поліномами Лаґерра називаються канонічні розв'язки диференційного рівняння
що є лінійним диференційним рівнянням другого порядку і має несингулярний розв'язок лише для невід'ємних цілих n. Для даних поліномів справедлива також явна формула Родрігеса:
Поліноми Лаґерра можна задати рекурсивно. Для цього слід взяти:
і визначити наступні поліноми за допомогою формули:
Приклади
Прикладами поліномів Лаґерра найменших степенів є:
n 0 1 2 3 4 <td> 5 <td> 6 <td>
Узагальнені поліноми Лаґерра Узагальненими поліномами Лаґерра називаються поліноми визначені за допомогою узагальненої формули Родрігеса:
Тоді звичайні поліноми Лаґерра є окремим випадком:
Узагальнений поліном Леґерра степеня також можна визначити за допомогою формули
Також виконуються рекурентні співвідношення:
Зокрема
і , або
Приклади Прикладами узагальнених поліномів Лаґерра найменших степенів є:
Ортогональність
Узагальнені поліноми Лаґерра є ортогональними на проміжку [0, ∞) з вагою xα e −x:
Для звичайних поліномів Лаґерра виконується рівність:
Джерела
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 22", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4 . B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 10 deals with Laguerre polynomials.
S. S. Bayin (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 3.