Теорема Лакса — Мільграма — твердження у функціональному аналізі, що має широке застосування у теорії рівнянь в частинних похідних та числовому аналізі, зокрема при теоретичному обґрунтуванні методу скінченних елементів.
Твердження
Нехай:
є гільбертовим простором зі скалярним добутком і асоційованою нормою є білінійною формою, що є неперервною в коерцивною в (іноді використовується термін -еліптичність): є неперервною лінійною формою у
Тоді існує єдиний елемент такий що рівність виконується для всіх
причому .
Доведення
Для довільного відображення — обмежений лінійний функціонал на .
Тоді, за теоремою Ріса, існує єдиний з такий, що . Будемо писати
— обмежений лінійний оператор. Справді, лінійність:
і обмеженість:
Із умови коерцивності випливає, що:
На основі цієї нерівності і лінійності випливає:
зокрема при Відповідно є ін'єктивним відображенням. Також із цієї нерівності випливає, що образ оператора є замкнутим. Справді, якщо y належить замиканню образу оператора, то існує послідовність для якої у нормі гільбертового простору. Тоді є фундаментальною послідовністю і оскільки то теж є фундаментальною послідовністю. Із повноти гільбертового простору випливає, що збігається до деякого і тоді тобто .
Ба більше, — сюр'єкція, бо інакше існував би елемент з ортогонального доповнення до (замкненого) образу Щоб знайти такий елемент потрібно взяти довільний і знайти що є найкращим наближенням до y на образі оператора A. Згідно теорії гільбертових просторів такий існує і єдиний, а є ортогональним до образу оператора A. Але тоді
протиріччя з
Нарешті, знову-ж таки з теореми Ріса,
але, завдяки бієктивності , ми можемо знайти єдиний елемент такий, що , а тоді
Також згідно теореми Ріса при цьому і також тому .
Див. також Теорема Ріса
Література Савула Я.Г. Числовий аналіз задач математичної фізики варіаційними методами. - Львів: видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка, 2004. — 221 с. ISBN 966-613-017-3