Умови Коші—Рімана, або умови Д'Аламбера—Ейлера — умови на дійсну та уявну частини функції комплексної змінної , що забезпечують нескінченну безперервну диференційовність як функції комплексної змінної.
Умови Коші—Рімана для пари дійснозначних функцій двох дійсних змінних і є двома рівняннями:
Як правило та вважаються відповідно дійсною та уявною частинами комплекснозначної функції однієї комплексної змінної ,
Нехай функції і є дійснозначними диференційованими в точці відкритої підмножини комплексної площини , які можна розглядати як функції з в . З цього випливає, що частинні похідні від функцій і існують (хоча вони не обов'язково повинні бути неперервними), а тому можемо лінійно апроксимувати малі варіації функції . Тоді є комплексно-диференційованою у цій точці тоді й лише тоді, коли частинні похідні функцій та задовольняють рівняння Коші—Рімана () та () у цій точці. Тут існування частинних похідних, які задовольняють рівнянням Коші—Рімана, не забезпечує комплексної диференційовності: функції і повинні бути дійсними диференційованими, що є більш сильною умовою, ніж існування частинних похідних, але загалом слабшою за неперервну диференційованість.
Голоморфність — це властивість комплексної функції бути диференційованою в кожній точці відкритої та зв'язаної підмножини комплексної площини (це називається в ). Отже, можна стверджувати, що комплексна функція , дійсні та уявні частини якої відповідно і є дійсними диференційованими функціями, є голоморфною тоді й лише тоді, коли рівняння () і () задовольняються на всій заданій . і навпаки. Це означає, що в комплексному аналізі, функція, яка комплексно диференційована на всій області (голоморфна), співпадає з аналітичною функцією. Це не вірно для дійсних диференційованих функцій. Теорема
Для того, щоб функція , визначена в деякій області комплексної площини, була диференційовна в точці як функція комплексної змінної , необхідно і достатньо, щоб її дійсна і уявна частини і були диференційовними в точці як функції дійсних змінних і і щоб, крім того, в цій точці виконувалися умови Коші—Рімана:
В декартових координатах
В полярних координатах
Якщо умови Коші—Рімана виконані, то похідна може бути подана в будь-якій з наступних форм:
Наслідки
Виконання умов Коші—Рімана, на відкритій підмножині є необхідними умовами аналітичності функції. Якщо, крім того, часткові похідні неперервні, то функція є аналітичною.
Простий приклад Нехай . Комплекснозначна функція є диференційованою в будь-якій точці комплексної площини,
Дійсна частина і уявна частина мають вигляд
А їх частинні похідні:
Ці частинні похідні співвідносяться таким чином: . Дійсно функції та задовольняють умови Коші—Рімана: і .
Історія
У комплексному аналізі умови Коші—Рімана, які названі на честь Оґюстена Коші та Бернгарда Рімана, складаються із системи двох диференціальних рівнянь з частинними похідними, які разом із певними критеріями неперервності та диференційовності утворюють необхідну та достатню умову голоморфності (комплексно диференційованості) комплекснозначної функції. Коші користувався цими співвідношеннями для побудови теорії функцій, починаючи з мемуару, представленого Паризькій академії наук в 1814 р. Ця система рівнянь вперше з'явилася в роботі Жана Лерона д'Аламбера.d'Alembert, Jean (1752). Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides. Paris: David l'aîné. Reprint 2018 by Hachette Livre-BNF ISBN 978-2012542839.. Пізніше Леонард Ейлер пов'язав цю систему з аналітичними функціями.Euler, Leonhard (1797). Ulterior disquisitio de formulis integralibus imaginariis. Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. 10: 3–19. Потім Коші Cauchy, Augustin L. (1814). Mémoire sur les intégrales définies. Oeuvres complètes Ser. 1. Vol. 1. Paris (published 1882). pp. 319–506. використав ці рівняння для побудови своєї теорії функцій. У 1851 році з'явилася дисертація Рімана з теорії функцій.Riemann, Bernhard (1851). Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Grösse. In H. Weber (ed.). Riemann's gesammelte math. Werke (in German). Dover (published 1953). pp. 3–48.
Інтерпретація та переформулювання Умови Коші—Рімана є одним із способів поглянути на умову диференційності функції в сенсі комплексного аналізу: іншими словами, вони включають в себе поняття функції комплексної змінної за допомогою звичайного диференціального числення. У теорії існує декілька інших основних підходів до цього поняття, і часто необхідно інтерпретувати умови іншою мовою.
Конформні відображення Більше інформації: Конформне відображення
По-перше, умови Коші—Рімана можна записати у комплексній формі
У цій формі рівняння структурно відповідають умові, що матриця Якобі має вигляд
де та . Матриця такого вигляду є матричним представленням комплексного числа. Геометрично така матриця завжди є композицією обертання і масштабування і, зокрема, зберігає кути. Якобіан функції бере нескінченно малі відрізки на перетині двох кривих у точці і повертає їх до відповідних відрізків у точці . Отже, функція, що задовольняє умови Коші—Рімана, з ненульовою похідною, зберігає кут між кривими на площині. Тобто умови Коші—Рімана є умовою конформності функції.
Більше того, оскільки композиція конформного перетворення з іншим конформним перетворенням також є конформним перетворенням, то конформне відображення переводить розв'язки рівнянь Коші—Рімана у розв'язки цих же рівнянь. Таким чином, рівняння Коші—Рімана є конформно інваріантними.
Комплексна диференційованість Нехай
є функцією комплексної змінної . Тоді комплексна похідна від функції у точці визначається як
за умови існування цієї границі.
Якщо ця границя існує, то її можна обчислити, взявши границю при вздовж дійсної або уявної осі; в обох випадках це повинно дати однаковий результат. Прямуючи вздовж дійсної осі, отримаємо
З іншого боку, прямуючи уздовж уявної осі,
Із рівності похідних функції вздовж двох осей отримаємо
які є рівняннями Коші—Рімана () у точці .
І навпаки, якщо є функцією, яка диференційована, якщо розглядати її як функцію на , то вона є комплексно диференційованою тоді й лише тоді, коли виконуються умови Коші—Рімана. Іншими словами, якщо і є дійснозначними диференційованими функціями двох дійсних змінних, тоді очевидно є (комплекснозначною) дійснозначною диференційованою функцією, але є комплексно диференційованою тоді й лише тоді, коли виконується умови Коші—Рімана.
Справді, слідуючи Рудіну,Rudin 1966. нехай — комплексна функція, що визначена на відкритій множині . Тоді, записавши для кожного , можна розглядати як відкриту підмножину , і як функцію двох дійсних змінних і , яка відображає у . Розглянемо умови Коші—Рімана у точці . Нехай функція є диференційованою у точці як функція двох дійсних змінних з в . Це еквівалентно існуванню наступного лінійного наближення
де та при . Оскільки і , то вищезазначене можна переписати як
Визначаючи дві як
при , рівність написану вище можна записати як
Тепер розглянемо потенційні значення , коли границя обчислюється в початку координат. Для вздовж дійсної осі маємо, що , а тому . Аналогічно для чисто уявного маємо, що , а тому значення не добре визначеним в початку координат. Легко перевірити, що не є добре визначеним при будь-якому значенні . Звідси функція є комплексно диференційованою в точці тоді й лише тоді, коли у точці . Але це в точності є умовами Коші—Рімана, а тому функція диференційована в точці тоді й лише тоді, коли в точці виконуються умови Коші—Рімана.
Незалежність від комплексного спряження Наведене вище доведення пропонує іншу інтерпретацію умов Коші—Рімана. Комплексно спряжене для числа , позначається як , визначається як
для дійсних та . Умови Коші—Рімана тоді можна записати як одне рівняння
використовуючи . У цій формі умови Коші—Рімана можна інтерпретувати як твердження, що функція є незалежною від змінної . Таким чином, можна розглядати аналітичні функції як істинні функції однієї комплексної змінної, а не комплексні функції двох дійсних змінних.
Фізична інтерпретація
Стандартна фізична інтерпретація умов Коші—Рімана, що бере свій початок з роботи Рімана по теорії функцій,Див. Klein, Felix (1893). On Riemann's theory of algebraic functions and their integrals. Translated by Frances Hardcastle. Cambridge: MacMillan and Bowes. полягає в тому, що функція є нестисної стаціонарної течії рідини на площині, а — функція струменю. Нехай пара (двічі неперервно диференційованих) функцій , задовольняє умови Коші—Рімана. Розглянемо функцію як потенціал швидкості, це означає, що уявляємо течію рідини на площині так, що вектор швидкості рідини в кожній точці цієї площини дорівнює градієнту функції , визначеному як
Диференціюючи умови Коші—Рімана вдруге, можна побачити, що функція є розв'язком рівняння Лапласа:
Тобто — гармонічна функція. Це означає, що дивергенція градієнта дорівнює нулю, а отже, рідина нестисна.
З аналогічних міркувань функція також задовольняє рівняння Лапласа. Крім того, з умов Коші—Рімана випливає, що скалярний добуток градієнтів функцій та дорівнює нулю, тобто . Це означає, що градієнт функції має вказувати на криві ; отже, це лінії току течії. Криві є еквіпотенціальними кривими течії.
Отже, голоморфну функцію можна візуалізувати, побудувавши графік двох сімейств кривих рівнів і . Поблизу точок, де градієнт функції (або, еквівалентно, функції ) не дорівнює нулю, ці сім'ї утворюють ортогональне сімейство кривих. У точках, де (стаціонарні точки течії), еквіпотенціальні криві для перетинаються. Лінії току також перетинаються в цій самій точці, ділячи навпіл кути, що утворені еквіпотенціальними кривими.
Гармонічне векторне поле Іншу інтерпретацію умов Коші—Рімана можна знайти в книзі Поя та Сего.Pólya, George; Szegő, Gábor (1978). Problems and theorems in analysis I. Springer. ISBN 3-540-63640-4.. Нехай функції і задовольняють умови Коші—Рімана у відкритій підмножині , розглянемо векторне поле
яке трактується як (дійсний) двокомпонентний вектор. Тоді друга умова Коші—Рімана () стверджує, що вектор є безвихровим (його ротор дорівнює 0):
Перша умова Коші—Рімана () стверджує, що задане векторне поле є соленоїдним (його дивергенція дорівнює 0):
Відповідно до теореми Гріна та теореми Остроградського таке поле обов'язково є потенціальним, тобто у ньому немає джерел або поглиначів, і має нульовий чистий потік через будь-яку відкриту область без дірок. (Ці два спостереження поєднуються як дійсна та уявна частини в інтегральній теоремі Коші.) У гідродинаміці таке векторне поле є . Chanson, H. (2007). "Le Potentiel de Vitesse pour les Ecoulements de Fluides Réels: la Contribution de Joseph-Louis Lagrange" [Velocity Potential in Real Fluid Flows: Joseph-Louis Lagrange's Contribution]. Journal la Houille Blanche. 5: 127–131. doi:10.1051/lhb:2007072. ISSN 0018-6368. S2CID 110258050. У магнітостатиці такі векторні поля моделюють статичні магнітні поля в області площини, яка не містить струму. В електростатиці вони моделюють статичні електричні поля в області площини, яка не містить електричного заряду.
Цю інтерпретацію можна еквівалентно переформулювати на мові диференціальних форм. Пара функцій , задовольняє умови Коші—Рімана тоді й лише тоді, коли 1-форма одночасно і козамкнена (гармонічна диференціальна форма).
Збереження комплексної структури Інше формулювання умов Коші—Рімана включає на площині, яка задана матрицею
Це комплексна структура в тому сенсі, що квадрат матриці є від'ємна одинична матриця: . Як і вище, якщо , — дві функції на площині, то покладемо
Матриця Якобі для функції — це матриця частинних похідних
Тоді пара функцій та задовольняє умови Коші—Рімана тоді й лише тоді, коли матриця комутує з матрицею .Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1969). Foundations of differential geometry, volume 2. Wiley. Proposition IX.2.2.
Ця інтерпретація корисна в симплектичній геометрії, де вона є початковою точкою для вивчення псевдоголоморфних кривих.
Інше представлення