Теорема Лагранжа — твердження в теорії груп згідно з яким кількість елементів будь-якої підгрупи скінченної групи ділить кількість елементів самої групи.
Точніше можна записати , де позначає індекс групи по підгрупі ,тобто кількість класів суміжності в , а , позначають порядок групи і підгрупи, тобто кількість їх елементів.
Доведення Нехай є скінченною групою. Розглянемо множину лівосторонніх класів суміжності групи щодо . Ця множина розбиває групу на рівнопотужних множин: .
Тобто , і враховуючи відсутність перетину цих множин: , і враховуючи їх рівнопотужність з , остаточно отримуємо , тобто: .
Наслідки Кількість правих і лівих суміжних класів будь-якої підгрупи в однакова і називається індексом підгрупи в (позначається ). Порядок будь-якої підгрупи скінченної групи є дільником порядку Із того, що порядок елемента групи дорівнює порядку циклічної підгрупи, яку створює цей елемент, слідує, що порядок будь-якого елемента скінченної групи є дільником . Цей наслідок узагальнює теорему Ейлера і малу теорему Ферма в теорії чисел. Група порядку , де — просте число, циклічна. (Оскільки порядок елемента, відмінного від одиниці, не може дорівнювати , всі елементи, крім одиниці, мають порядок , а отже, кожен з них породжує групу.)
Узагальнення Теорема Лагранжа допускає наступне просте узагальнення: нехай є скінченною групою і маємо , тоді .
Доведення З теореми Лагранжа випливає: і також , звідки .
Примітки
Джерела Українською
Іншими мовами