Нерівність Гельдера в функціональному аналізі і суміжних дисциплінах — це фундаментальна властивість просторів .
Формулювання
Нехай — простір з мірою, — простір функцій вигляду із скінченним інтегровним -им степенем.
Тоді в останньому визначена норма
Нехай
Тоді
Доведення Лема Нехай — неперервна строго зростаюча функція. Тоді існує обернена функція і тоді для всіх додатних і
Нерівність переходить у рівність тоді і лише тоді якщо Для розуміння доведення достатньо просто намалювати з довільною
Власне доведення Доведення нерівності Гельдера покладається на такий факт:
для всіх і для будь-яких додатних сталих і
де тобто
Для нерівність очевидна: оскільки і звідси з цього
Доведемо нерівність у загальному випадку. Використаємо лему наведену вище. Візьмімо Оскільки маємо і є неперервною і строго висхідною функцією. Отже, і з леми ми отримуємо
Видно, що нерівність переходить у рівність тоді і лише тоді коли що тотожно до
Покладемо і Завдяки (1) ми знаходимо
і звідси, беручи суму по всіх від 1 до
Отже, що і потрібно було довести.
Часткові випадки
Нерівність Коші — Буняковского
Поклавши , отримуємо Нерівність Коші—Буняковского для простору .
Евклідів простір
Розглянемо Евклідів простір або . -норма у цьому просторі має вигляд: , тоді: .
Простір lp
Нехай — скінченна міра на . Тоді множина всіх послідовностей , таких що , називається . Нерівність Гельдера для цього простору має вигляд: .
Ймовірнісний простір
Нехай — ймовірнісний простір. Тоді складається з випадкових величин із скінченним -м моментом: , де символ позначає математичне сподівання.
Нерівність Гельдера в цьому випадку має вигляд:
Див. також простір Lp Гельдер, Отто Нерівність Юнга Нерівність Мінковського
Джерела