Нерівність трикутника — основна властивість геометричних фігур евклідового простору, відстані, що використовується в геометрії, функціональному аналізі.

Вона стверджує, що будь-яка сторона довільного трикутника менша за суму двох інших його сторін та більша за їх різницю.

Нерівність трикутника входить як аксіома в визначення метрики простору, норми.

Евклідова геометрія

Нерівність трикутника є теоремою в Евклідовій геометрії, доведення наведено ще в «Началах» Евкліда.

В трикутнику причому рівність досягається тільки тоді, коли трикутник вироджений і точка лежить строго між та .

Нормований простір

Якщо — нормований векторний простір, де — довільна множина, а — визначена на норма. Тоді за визначенням норми:

В гільбертовім просторі, нерівність трикутника є безпосереднім єдинозворотнім нетривіальним наслідком нерівності Коші — Буняковского.

Метричний простір Якщо — метричний простір, де — довільна множина, а — визначена на метрика. Тоді за визначенням метрики:

Обернена нерівність трикутника Наслідком нерівності трикутника в нормованому та метричному просторі є такі нерівності:

Джерела