Нерівність Бернуллі стверджує: якщо , то для всіх Однак, узагальнена нерівність Бернуллі стверджую наступне: якщо , то якщо , то при цьому рівність досягається в двох випадках: помилка Доведення
Доведення проводиться методом математичної індукції по n. При n = 0 нерівність, очевидно, вірна. Припустимо, що вона вірна для n, доведемо це вірно для n+1: . Проте наведене доведення не розповсюджується на інші . Доведення узагальненої нерівності Бернуллі наведено нижче. Розглянемо , причому . Похідна при , оскільки . Функція двічі диференційовна в проколотому околі точки . Тому . Отримуємо: ⇒ при ⇒ при Значення функції , відповідно, справедливі наступні твердження: якщо , то якщо , то Неважко помітити, що за відповідних значень або функція . При цьому в кінцевій нерівності зникають обмеження на , що були задані на початку доведення, оскільки для них виконується рівність. ■ — Q.E.D.
Зауваження Нерівність також справедлива для (при ), але вказане вище доведення методом математичної індукції у випадку не працює.
Назва Нерівність названа на честь швейцарського математика Якоба Бернуллі
Джерела