Ріманова поверхня — традиційна в комплексному аналізі назва 1-вимірного комплексного многовиду. Такі поверхні почав систематично вивчати Бернгард Ріман. Прикладами ріманових поверхонь є комплексна площина і сфера Рімана.
Визначення Зв'язний гаусдорфів топологічний простір R називається рімановою поверхнею, якщо на ньому можна задати покриття відкритими множинами причому кожній множині відповідає гомеоморфне відображення із множини у деяку відкриту підмножину комплексної площини, причому якщо перетин є непустою множиною, то функція:
є голоморфною. Множина при цьому називається атласом, а її елементи картами. Якщо даний топологічний простір є також компактним, то ріманова поверхня називається компактною або замкнутою
Приклади
Комплексна площина є одним із найпростішим прикладів ріманової поверхні. Одиничне відображення визначає карту на множині , і є необхідним атласом. Відображення (комплексне спряження) також визначає атлас на . Дані атласи не є еквівалентними.
Подібним чином кожна відкрита множина комплексної площини є рімановою поверхнею.
Нехай де і де . Тоді із своїми областями визначення визначають атлас. Множина з визначеною таким чином комплексною структурою є компактною рімановою поверхнею гомеоморфною сфері. Дана поверхня називається рімановою сферою.
Теорія поверхонь Рімана є еквівалентною теорії несингулярних алгебраїчних кривих над комплексними числами. Наприклад тор , де τ комплексне число, що не є дійсним, відповідає через еліптичну функцію Вейєрштрасса деякій еліптичній кривій. Важливі приклади некомпактних ріманових поверхонь дають аналітичні продовження.
Див. також Диференціал Абеля Многовид Теорема Рімана — Роха Фуксова модель Поверхня Больци Поверхня Гурвіца Модулі ріманової поверхні
Джерела
Форстер О. Римановы поверхности. М: Мир, 1980 247 ст. Farkas, Hershel M.; Kra, Irwin (1980), Riemann Surfaces (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90465-8