Статична ізотропна метрика — це метрика що визначає статичне ізотропне гравітаційне поле.
Під словами статичне та ізотропне розуміється наступне: завжди можна знайти набір координат близький до координат Мінковського , такий що інварінтний власний час не залежить від а залежить від і тільки через інваріанти групи поворотів: . Найзагальніший вигляд запису інтервалу:
, де - невідомі функції величини
Зведення до стандартного вигляду Вигідно замінити сферичними полярними координатами :
Інтервал в такому разі прийме вигляд: ,
Ми можемо встановити наш годинник згідно з визначенням нової часової координати
де - довільна функція від . Це дозволяє виключити недіагональний елемент , поклавши
Тоді інтервал виражається так:
Ми також можемо перевизначити радіус і тим самим накласти ще одну умову на функції , наприклад таким чином . Тоді ми отримаємо так звану стандартну форму для статичної ізотропної метрики:
де
Після останнього перетворення метричний тензор має такі ненульові компоненти:
Де функції і повинні бути визначенні шляхом розв'язування рівнянь поля. Так як — діагональний тензор, легко написати ненульові компоненти тензора, оберненого до нього:
Символи Крістофеля та тензор Річі
Афінна зв'язність може бути обчислена за звичайною формулою:
Її ненульові компоненти виявляються рівними:
, , , , , , , , , Обчислимо також тензор Річчі. Він задається формулою
Підставляючи раніше отримані компоненти афінної звізності отримаємо:
, , , ,
(Штрих тепер означає диференціювання по ). Висновок про те що щезають і про те що є наслідком інварінтності метрики відностно поворотів. Рівність нулю пов'язано з тим що ми встановили наш годинник так що метрика виявилась інваріантина відносно обернення часу .
Частковим випадком статичної ізотропної метрики є Метрика Шварцшильда, на випадок порожнього(нічим не заповненого) простору часу.
Література Вайнберг, «Гравитация и космология».