У фізиці спотворена метрика Шварцшильда являє собою метрику стандартного ізольованого простору-часу Шварцшильда, на яку впливають зовнішні гравітаційні поля. У чисельному моделюванні така метрика може зазнавати спотворень під дією практично довільних зовнішніх розподілів енергії та імпульсу. Водночас у межах точних аналітичних розв’язків загальної теорії відносності побудова спотворених метрик Шварцшильда зазвичай обмежується класом метрик Вейля, які описують статичні осесиметричні гравітаційні поля.
Стандартний Шварцшильд як вакуумна метрика Вейля Усі статичні осесиметричні розв'язки рівнянь Ейнштейна-Максвелла можна записати у вигляді метрики ВейляJeremy Bransom Griffiths, Jiri Podolsky. Exact Space-Times in Einstein's General Relativity. Cambridge: Cambridge University Press, 2009. Chapter 10.,
З точки зору Вейля, метричні потенціали, що генерують стандартний розв'язок Шварцшильда, задаються формуламиR Gautreau, R B Hoffman, A Armenti. Static multiparticle systems in general relativity. IL NUOVO CIMENTO B, 1972, 7(1): 71–98.
де
що дає метрику Шварцшильда в канонічних координатах Вейля, що
Метрики Шварцшильда, викривлені Вейлем Вакуумні простори-часи Вейля (такі як Шварцшильд) відповідають наступним рівнянням поля,
де – оператор Лапласа.
Виведення рівнянь вакуумного поля
Рівняння Ейнштейна у вакуумі має вигляд , що дає рівняння (5.a)-(5.c).
Більше того, додаткове співвідношення мається на увазі рівняння (5.d). Кінець виведення.
Рівняння (5.a) – це лінійне рівняння Лапласа; тобто лінійні комбінації заданих розв'язків все ще є його розв'язками. Наявні два розв'язки відповідно до рівняння (5.a), можна побудувати нове рішення через
а інший метричний потенціал можна отримати за допомогою
Нехай і , поки і зверніться до другого набору метричних потенціалів Вейля. Тоді, побудоване за допомогою рівнянь (6) та (7), призводить до суперпонованої метрики Шварцшильда-Вейля
З перетвореннями
можна отримати суперпоновану метрику Шварцшильда звичайним чином координати,
Суперпоновану метрику з рівняння (10) можна розглядати як стандартну метрику Шварцшильда, спотворену зовнішніми джерелами Вейля. За відсутності потенціалу спотворення рівняння (10) зводиться до стандартної метрики Шварцшильда:
Розв'язок Шварцшильда, викривлений Вейлем, у сферичних координатах Подібно до точних вакуумних розв'язків метрики Вейля у сферичних координатах, ми також маємо рядні розв'язки рівняння (10). Потенціал спотворення у рівнянні (10) задається мультипольним розкладомTerry Pilkington, Alexandre Melanson, Joseph Fitzgerald, Ivan Booth. "Trapped and marginally trapped surfaces in Weyl-distorted Schwarzschild solutions". Classical and Quantum Gravity, 2011, 28(12): 125018. arXiv:1102.0999v2[gr-qc]
with
де
позначає поліноми Лежандра, а є мультипольними коефіцієнтами. Інший потенціал це
Див. також
Метрика Шварцшильда
Посилання