Двоїстість Шура — Вейля — математична теорема в теорії зображень, яка пов'язує незвідні скінченновимірні представлення загальної лінійної та симетричної груп. Двоїстість Шура — Вейля утворює архетипову ситуацію в теорії представлень, у якій два типи симетрії взаємно визначають один одного. Вона названа на честь двох піонерів теорії представлень груп Лі, Іссая Шура, який відкрив це явище, та Германа Вейля, який популяризував його у своїх книгах з квантової механіки та класичних груп як спосіб класифікації представлень унітарних і загальних лінійних груп.
Двоїстість Шура — Вейля можна довести за допомогою теореми про подвійний централізатор., Theorem 5.18.4
Формулювання теореми Розглянемо тензорний простір
з k множниками.
Симетрична група Sk на k символах діє на цьому просторі зліва переставлянням множників,
Загальна лінійна група GLn невироджених n×n матриць діє на ньому одночасним множенням матриць,
Ці дві дії комутують, а в конкретній формі двоїстість Шура — Вейля стверджує, що відносно спільної дії груп Sk і GLn тензорний простір розкладається у пряму суму тензорних добутків незвідних модулів для цих двох груп, які фактично визначають один одного,
Доданки індексуються діаграмами Юнга D з k клітинками і не більш ніж n рядками, причому представлення групи Sk для різних D попарно неізоморфні, і те саме справджується для представлень групи GLn.
Абстрактна форма двоїстості Шура — Вейля стверджує, що дві алгебри операторів на тензорному просторі, породжені діями GLn і Sk, є повними взаємними централізаторами в алгебрі ендоморфізмів
Приклад Нехай k = 2, а n більше за одиницю. Тоді двоїстість Шура — Вейля є твердженням про те, що простір двотензорів розкладається на симетричну та антисиметричну частини, кожна з яких є незвідним модулем для GLn:
Симетрична група S2 складається з двох елементів і має два незвідні представлення: тривіальне зображення та знакозмінне зображення. Тривіальне зображення S2 породжує симетричні тензори, які є інваріантними, тобто не змінюються, відносно перестановки множників, а знакозмінне зображення відповідає кососиметричним тензорам, які змінюють знак.
Доведення Спершу розглянемо таку ситуацію: G — скінченна група, — групова алгебра групи G, — скінченновимірний правий A-модуль, і , який діє на U зліва і комутує з правою дією G або A. Іншими словами, є централізатором у кільці ендоморфізмів .
У доведенні використовуються дві алгебраїчні леми.
Лема 1 Якщо є простим лівим A-модулем, то є простим лівим B-модулем.
Доведення: Оскільки U є напівпростим за теоремою Машке, існує розклад на прості A-модулі. Тоді . Оскільки A є лівим регулярним зображенням групи G, кожен простий G-модуль входить до A, і маємо, що або, відповідно, нулю тоді й лише тоді, коли відповідають одному й тому самому простому множнику A або, відповідно, не відповідають. Отже, маємо: Тепер легко бачити, що кожен ненульовий вектор у породжує весь простір як B-модуль, а тому є простим. Загалом ненульовий модуль є простим тоді й лише тоді, коли кожен його ненульовий циклічний підмодуль збігається з усім модулем.
Лема 2 Коли , а G є симетричною групою , підпростір простору є B-підмодулем тоді й лише тоді, коли він інваріантний відносно ; іншими словами, B-підмодуль — це те саме, що й -підмодуль.
Доведення: Нехай . Тоді . Також образ W породжує підпростір симетричних тензорів . Оскільки , образ породжує . Оскільки є щільною в W або в евклідовій топології, або в топології Зариського, то звідси отримуємо наше твердження.
Тепер звідси випливає двоїстість Шура — Вейля. Візьмемо як симетричну групу і як d-й тензорний степінь скінченновимірного комплексного векторного простору V.
Нехай позначає незвідне -представлення, що відповідає розбиттю , а . Тоді за Лемою 1
є незвідним -модулем. Крім того, коли є лівим напівпростим розкладом, маємо: , що є напівпростим розкладом як -модуля.
Узагальнення
Алгебра Брауера відіграє роль симетричної групи в узагальненні двоїстості Шура — Вейля на ортогональні та симплектичні групи. Узагальнення на змішанотензорні представлення загальних лінійних груп включає алгебру Брауера зі стіною.
У загальнішому випадку алгебра розбиттів та її підалгебри породжують ряд узагальнень двоїстості Шура — Вейля.
Див. також Алгебра розбиттів
Примітки
Джерела William Fulton; Joe Harris, Representation Theory: A First Course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, Vol. 129. New York: Springer-Verlag, 1991. Roger Howe, Perspectives on invariant theory: Schur duality, multiplicity-free actions and beyond. The Schur lectures (1992) (Tel Aviv), 1–182, Israel Math. Conf. Proc., 8, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1995. Issai Schur, Über eine Klasse von Matrizen, die sich einer gegebenen Matrix zuordnen lassen. Dissertation. Berlin. 76 S (1901) JMF 32.0165.04 Issai Schur, Über die rationalen Darstellungen der allgemeinen linearen Gruppe. Sitzungsberichte Akad. Berlin 1927, 58–75 (1927) JMF 53.0108.05
Hermann Weyl, The Classical Groups. Their Invariants and Representations. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1939. xii+302 pp.
Посилання How to constructively/combinatorially prove Schur-Weyl duality?