Пропага́тор або фу́нкція поши́рення — функція, що задає амплітуду ймовірності переходу квантової частинки, яка перебувала в певний момент часу в однієї точці простору, в іншу в інший момент часу.
Пропагатор є функцією Гріна рівняння Шредінгера. Пропагатори використовуються для функціонального формулювання квантової механіки, в якому застосовуються інтеграли Фейнмана.
Означення
Пропагатор визначається, як матричний елемент оператора еволюції ,
де пропагатор позначений K, оператор еволюції , а — власна функція оператора координати.
В нерелятивістській квантовій механіці пропагатор задовольняє рівнянню ,
де — гамільтоніан, — зведена стала Планка.
Хвильова функція частинки в момент часу t виражається через хвильову функцію в момент часу з використанням пропагатора через формулу
Приклади Вільна частинка Для вільної частинки, яка рухається в тривимірному просторі пропагатор має вигляд ,
де m — маса частинки.
Ця формула описує розпливання хвильового пакета з часом.
Пропагатори у квантовій теорії поля
У квантовій теорії поля пропагатором для коваріантного поля народження і знищення
,
де - спінорний індекс, що відповідає спіну (спіральності) поля як представлення групи Пуанкаре, - поляризації ( поляризацій для масивного випадку, 1 поляризація для безмасового випадку без інваріантності представлення відносно дискретних симетрій групи Лоренца та 2 поляризації для безмасового випадку із інваріантністю відносно вказаних дискретних симетрій),
(у координатному представленні) називаєтьсяЗагальний вигляд матричних елементів вираз
.
Тут ,
де обирається в залежності від типу комутаційних співвідношень для операторів полів - відповідно комутаційних чи антикомутаційних.
Обмежимось пропагатором для вільної теорії. Враховуючи, що при дії на вакуум маємо , вираз можна переписати як
,
де визначає антикомутатор чи комутатор відповідно. Використовуючи (анти)комутаційні співвідношення на оператори народження і знищення
,
можна отримати вираз
,
де
,
а
пропагатор для клейн-гордонівського поля спіну 0. Як можна показати, він задовольняє рівнянню
,
тому його можна представити як
.
Тому, нарешті, вираз переписується як
.
Для найпростіших теорій (скалярної, діраківської, масивного бозону спіну 1 і безмасового бозону спіральності 1) маємо, з відомих виразів для сум по поляризаціям,
,
,
,
.
Посилання
Література