Ергодична теорема Біркгофа — Хінчина стверджує, що для динамічної системи, яка зберігає міру, і інтегровної за цією мірою функції на просторі для майже всіх початкових точок відповідні збіжні. Більш того, якщо інваріантна міра ергодична, то для багатьох початкових точок границя одна і та ж - інтеграл функції за цією мірою. Цей принцип формулюється як «середнє за часом для багатьох початкових точок дорівнює просторовому».
Формулювання Нехай - відображення, яке зберігає міру , та функція на інтегровна за мірою . Тоді середні за часом збігаються до деякої інваріантної функції :
причому збіжність має місце як у , так і майже всюди за мірою .
Зв'язок із законом великих чисел Посилений закон великих чисел у формі Колмогорова можна отримати як наслідок теореми Біркгофа — Хінчина. А саме, оскільки ясно, що від конкретної реалізації випадкових величин результат не залежить, можна вважати, що ймовірнісний простір має вигляд
з мірою , а випадкові величини влаштовані як (міра дає розподіл значень будь-якого з ). Тоді міра ергодична відносно лівого зсуву - який зберігає її перетворення
З іншого боку, функція інтегровна за мірою , а . Тому чезарівські середні можна записати як середні за часом для динамічної системи :
Тому в силу теореми Біркгофа — Хінчина майже напевно
Це і є висновок посиленого закону великих чисел.
Примітки
Література