Спонтанне порушення симетрії — спосіб порушення симетрії фізичної системи, за якого початковий стан та рівняння руху системи інваріантні відносно деяких перетворень симетрії, але в процесі еволюції система переходить у стан, для якого інваріантність відносно деяких (усіх) перетворень початкової симетрії вже є порушеною.
Спонтанне порушення симетрії завжди пов'язане з виродженням стану з мінімальною енергією (вакууму). Множина всіх вакуумів має початкову симетрію, однак кожен вакуум окремо — ні. Наприклад, кулька в двох'ямковому жолобі скочується з нестійкого симетричного стану в стійкий стан із мінімальною енергією або вліво, або вправо, руйнуючи при цьому симетрію відносно зміни лівого на праве (інверсія).
Спонтанне порушення симетрії відбувається (псевдо)випадковим чином і зумовлене флуктуаціями. Це явище надзвичайно поширене в природі. Безліч різноманітних прикладів спонтанного порушення симетрії можна навести з класичної механіки.
Однак, тоді як у механіці спонтанне порушення симетрії має радше описове значення, у теорії поля це є основний принцип, що забезпечує генерацію мас калібрувальних бозонів. Більше того, будуючи ефективні лагранжіани в квантовій теорії поля, можна деякі мезони ототожнити з відповідними голдстоунами (псевдогодстоунами). Нижче розглянуто приклад -мезона як голдстоуна при порушенні деякої симетрії квантової хромодинаміки з безмасовими кварками.
Так само речовину в певній термодинамічній фазі можна розглядати як квантове поле з відповідною симетрією. Тоді спонтанне порушення симетрії представляється як фазовий перехід.
Існування в природі чотирьох фундаментальних взаємодій теж є наслідком порушення симетрії — гіпотетично при досить великих енергіях (~100 ГеВ) електромагнітні й слабкі ядерні сили об'єднуються в одну електрослабку взаємодію, а при ще більших енергіях (~1014 ГеВ) об'єднуються електрослабка і сильна ядерна взаємодії у взаємодію Великого об'єднання.
Механізм спонтанного порушення симетрії життєво необхідний для можливості існування суперсиметрії. Непорушена суперсиметрія передбачає існування у кожної відомої частинки суперпартнера з такою ж самою масою, чого не спостерігається в експериментах. Вважається, що через порушення суперсиметрії суперчастинки набувають великої маси, недосяжної для сучасних експериментів.
Вакууми можуть мати доволі цікаву структуру. Квантова теорія поля дозволяє існування польових вакуумних конфігурацій зі спонтанно порушеними вакуумами, які змінюються від точки до точки. Такими станами є наприклад магнітні монополі, космічні струни, доменні стінки. Стани такого типу спостерігаються у фізиці конденсованого стану, наприклад, стінки між феромагнітними доменами. При складних багатоямних конфігураціях потенціалу існує кілька вакуумів. Однак справжнім вакуумом є лише стан із найменшою енергією. Усі інші вакууми є метастабільними й переходять у справжній шляхом квантового тунелювання.
Спонтанне порушення симетрії може відігравати велику роль і в гравітації. Вважається, що космологічна інфляція спричинена переходом з фальшивого вакууму в істинний при спонтанному порушенні симетрії Великого Об'єднання. Крім того спонтанне порушення суперсиметрії (суперхіггсівський механізм) передбачає теорії масивної гравітації. Також розвиваються моделі гравітаційного поля метричного тензора як хіггс-голдстоунівського поля деякої порушеної симетрії.
Таким чином спонтанне порушення симетрії є надзвичайно поширеним явищем в усіх галузях фізики, починаючи від класичної механіки, закінчуючи квантовою гравітацією.
Прості приклади спонтанного порушення симетрії
У класичній механіці Крісло
Рівняння, які описують рух атомів будь-якого несиметричного фізичного тіла, наприклад, крісла, інваріантні відносно тривимірних поворотів, однак розв'язок цих рівнянь — реальне крісло — має певну орієнтацію в просторі.
Скочування кульки у двохямному жолобі
Кулька, що перебуває посередині між ямами двохямного жолоба, рано чи пізно під впливом збурень скотиться в один з них, порушуючи симетрію відносно заміни
Олівець на столі
Олівець, поставлений на торець на столі, не має жодного вибраного напряму в площині стола, однак під дією збурень він упаде, вибравши про цьому якийсь псевдо-випадковий (залежний від флуктуацій) напрям.
Стрижень під пресом
Круглий металевий стрижень, затиснутий між пластинами преса, при достатньому навантаженні зігнеться, причому напрям згину довільний і залежить від флуктуацій. Початкова осьова симетрія стрижня спонтанно порушується.
Розтягнута гумка
Розтягування гумки приводить до її видовження і зменшення в ширині. При певному значенні розтягуючої сили вона рветься в певному місці, хоча для ідеальної гумки всі місця є рівноймовірними. Причиною «порушення» симетрії є флуктуації товщини гумки — рветься, там де тонше. Ідеальна гумка розтягнулася б до ланцюжка з атомів і порвалася б, коли енергія розтягуючої сили стала б рівною сумарній енергії зв'язку атомів
У фізиці конденсованого стану
Кристалізація При кристалізації рідини, яка характеризується найвищою, ізотропною, симетрією, утворюється кристал, у якому існують певні виділені напрямки відносно кристалічних осей. Орієнтація кристалічних осей у загальному випадку випадкова або зумовлена слабкими зовнішніми факторами чи флуктуаціями. Також симетрія відносно трансляцій на довільний вектор понижується до трансляційної симетрії на вектор, який є лінійною комбінацією векторів кристалічної ґратки.
Метастабільні фази Рідина при охолодженні нижче температури кристалізації перетворюється на кристал. Однак рідина без домішок може бути охолоджена нижче температури кристалізації. Такий стан досягається завдяки відсутності центрів кристалізації — немає зародків, на яких могли б утворюватися кристали. Утворюється метастабільна фаза переохолодженої рідини.
З точки зору симетрії, ізотропна і трансляційна симетрія рідини мала б знизитися до симетрії кристалічної ґратки, однак нема флуктуацій (центрів кристалізації), які б порушили дану симетрію.
Аналогічна ситуація виникає в пересиченій парі чи перегрітій рідині. Такі метастабільні стани використовуються наприклад в бульбашкових камерах та камерах Вільсона.
Фазові переходи Нагріті феромагнетики (вище температури Кюрі) перебувають у парамагнітному стані, де вибраного напряму намагніченості немає, однак охолоджуючись нижче температури Кюрі феромагнетик отримує спонтанну намагніченість (відбувається фазовий перехід), напрям якого (за відсутності зовнішнього магнітного поля) є випадковим і залежить від флуктуацій.
Спонтанне порушення симетрії відбувається майже при всіх фазових переходах (див. нижче).
У квантовій механіці
Двощілинний експеримент
При падінні квантової частинки на дві щілини, біля кожної з яких розміщений детектор спрацьовує (істинно випадковим чином) один з детекторів. Симетрія випадково порушується. Цей приклад суттєво відрізняється від попередніх тим, що, виходячи з сучасних уявлень (див. Теорема Белла, наявність флуктуацій для спонтанного порушення симетрії не є обов'язковою: природа реалізує проходження частинки через одну з можливих щілин абсолютно випадковим чином.
Вимірювання у квантовій механіці
Прямим узагальненням попереднього прикладу на довільне вимірювання стану в квантовій механіці. У квантовій теорії, згідно з постулатом про вимірювання, вимірювання полягає в редукції (миттєвому переході) квантового стану в один з можливих власних станів оператора вимірюваної фізичної величини . Стан при цьому випадковим чином (з ймовірністю ) переходить у стан з порушеною початковою симетрією.
Декогеренція
Іншим прикладом спонтанного порушення симетрії в квантовій механіці, але вже пов'язаним з наявністю флуктуацій, є декогеренція. Через наявність зовнішніх флуктуацій чистий стан системи переходить в змішаний з порушенням початкових симетрій. Математично це відповідає тому, що декогеренція спричиняє занулення недіагональних елементів матриці густини.
Для прикладу, розглянемо квантовомеханічний атом у збудженому стані. Атом спонтанно випромінює фотон і переходить на нижчий енергетичний рівень. Якщо атом перебуває в сферично симетричному стані, то він випромінює фотон у довільному напрямку і сам перейде в неізотропний стан зі спонтанно порушеною симетрією відносно поворотів. Причиною порушення симетрії є наявність навколишніх частинок, а також випадкові флуктуації фізичного вакууму.
Для ілюстрації декогеренції можна також розглянути ансамбль однакових квантових станів. Через наявність зовнішніх флуктуацій після певного часу системи перебуватимуть в різних станах.
Саме знищення недіагональних елементів відповідає за спонтанне порушення симетрії в першому прикладі даного розділу «Крісло».
Спонтанне порушення калібрувальної симетрії
Порушення глобальної калібрувальної симетрії
У теорії поля зазвичай розглядають динаміку поля в околі вакуумного стану (мінімуму потенційної енергії), вважаючи самі поля малими. На практиці, це веде до розкладу функції Лагранжа відповідного поля в ряд Тейлора в околі мінімуму потенціальної енергії і нехтування доданками вищих степенів у розкладі. При цьому вибір вакууму може бути неоднозначним (див. Рисунок «Лінійна сигма модель»: сірим кольором показано можливі вакуумні стани).
Наприклад, розглянемо лагранжіан комплексного (зарядженого) де є дійсними полями,
де — потенціал взаємодії, грецькі індекси всюди пробігають значення . Цей лагранжіан є інваріантним відносно глобальних калібрувальних перетворень
де є дійсною константою. Для даної моделі вакуум не є інваріантним відносно таких калібрувальних перетворень, якщо функція має мінімум в точці відмінній від нуля.
Справді, якщо має мінімум в нулі, тоді точці вакууму однозначно відповідає Зовсім інша ситуація виникає у випадку, коли . У цьому випадку мінімуму потенціалу відповідає не одна точка, а континуум точок
Відповідним поворотом системи координат простору зарядових ступенів вільності поля Клейна — Ґордона завжди можна привести вакуум до вигляду
Легко бачити, що хоча лагранжіан (зокрема, наближений) є інваріантним відносно калібрувальних перетворень, вакуум таким вже не є. Система переходить у випадково вибраний (насправді залежно від флуктуацій) стан. У цьому і полягає спонтанне порушення глобальної калібрувальної симетрії. Нагадаємо, що калібрувальні перетворення утворюють групу Лі, причому компактну. Розглянемо лагранжіан
де — скалярних дійсних полів. Нехай лагранжіан інваріантний відносно перетворень калібрувальної групи
Випадок інваріантного вакууму Якщо має мінімум у точці , то легко бачити, що вакуум є інваріантним відносно всіх калібрувальних перетворень (дія будь-якої матриці на нульовий вектор дає знову нульовий вектор). У такому випадку можна розкласти в ряд Тейлора в околі нуля. Припускаючи, що , а також враховуючи, що перші похідні в точці екстремуму дорівнюють нулю, а матриця других похідних в точці мінімуму є додатно визначеною, отримаємо
Здійснюючи відповідне ортогональне перетворення можна масову матрицю привести до діагонального вигляду. Таким чином отриманий лагранжіан описуватиме дійсних скалярних полів з масами, які визначаються власними значеннями матриці .
Випадок неінваріантного вакууму. Зовсім іншою є ситуація, коли потенціал має мінімум не в нулі. В такому випадку завжди існує довільність у виборі вакуумного стану. Вакуум буде інваріантний лише відносно певної підгрупи калібрувальної групи . Групу називають малою групою. Відбувається порушення локальної симетрії калібрувальної групи . Розглянемо приклад порушення глобальної симетрії, що задається калібрувальною групою тривимірних поворотів (SO(3)), в лінійній сигма-моделі. Загалом можна показати, що має місце