Радіа́н (у математиці та фізиці) — це одиниця вимірювання площинних кутів в Міжнародній системі одиниць SI.
Один радіан — це площинний кут, утворений двома радіусами, так, що довжина дуги між ними дорівнює радіусу колаThe International System of Units (PDF), V3.01 (9th ed.), International Bureau of Weights and Measures, Aug 2024, p. 138, ISBN 978-92-822-2272-0: «One radian is the angle subtended at the centre of a circle by an arc that is equal in length to the radius.». Тобто, вимірювання кута в радіанах показує в скільки разів довжина дуги кола, що спирається на цей кут, відрізняється від його радіуса.
Радіан є безрозмірнісною одиницею вимірювання та має позначення рад (міжнародне — rad)Наказ Міністерства економічного розвитку та торгівлі України від 25.08.2015 № 914. Про затвердження визначень основних одиниць SI, назв та визначень похідних одиниць SI, десяткових кратних і частинних від одиниць SI, дозволених позасистемних одиниць, а також їх позначень та Правил застосування одиниць вимірювання і написання назв та позначень одиниць вимірювання і символів величин., але, зазвичай, при написанні це позначення не пишеться. При вимірюванні кутів в градусах використовують позначення °, для того щоб відрізнити від величин, виражених в радіанах.
Пояснення Повна довжина кола дорівнює 2πr, де r — радіус кола. Тому повне коло є кутом в 2π≈6.28319 радіан. Перетворення радіанів у градуси та навпаки здійснюється так:
рад , 1 рад (або ) = . рад, рад рад.
Властивості Широке застосування радіанів в математичному аналізі обумовлено тим, що вирази з тригонометричними функціями, аргументи яких вимірюються в радіанах, набувають максимально простого вигляду (без числових коефіцієнтів). Наприклад, використовуючи радіани, отримаємо просту тотожність
що лежить в основі багатьох елегантних формул в математиці.
При малих кутах синус і тангенс кута, вираженого в радіанах, рівні самому куту, що зручно при наближених обчисленнях.
Косинус малого кута, вираженого в радіанах, наближено дорівнює:
Розмірність Радіан є безрозмірнісною одиницею вимірювання. Тобто числове значення кута, що виміряний в радіанах, позбавлене розмірності. Це легко бачити із самого означення радіана, як відношення довжини кола до радіуса. Згідно з рекомендаціями Міжнародного бюро з мір та ваг радіан інтерпретується як одиниця з розмірністю 1 = м·м−1 (м/м, тобто метр на метр — чисельник і знаменник можливо скоротити, тобто він має розмірність 1).
Інакше, безрозмірність радіана можна бачити з виразу ряду Тейлора для тригонометричної функції sin(x):
Якби x мав розмірність, тоді ця сума була б позбавлена змісту — лінійний доданок x не можна було б додати до кубічного x3/3!, як величини різних розмірностей. Отже, x мусить бути безрозмірнісним.
Кутові швидкості теорії електричних машин прийнято вимірювати в електричних радіанах в секунду (ел. рад/с). Зв'язок між кутовими швидкостями ел. рад/с та в механічних одиницях (рад/с) встановлюється окремими залежностямиРадиан электрический.
Див. також
Стерадіан, Тригонометрія, Полярна система координат Гон
Примітки
Джерела Алєксєєв, В. М. Математика: Довідковий повторювальний курс [Текст] : [навч. посібник] / В. М. Алєксєєв, Р. П. Ушаков;за ред. М. Й. Ядренка. — К. : Вища школа, 1992. — 494 с. — ISBN 5-11-000094-1 Математика для вступників до вузів [Текст] : навчальний посібник / В. В. Семенець, М. Ф. Бондаренко, В. А. Дікарев та ін. — Харків : СМІТ, 2002. — 1120с. — ISBN 966-7714-88-8. — ISBN 966-95983-1-1
Посилання
«Углы, градусы и радианы» — переклад статті Intuitive Guide to Angles, Degrees and Radians | BetterExplained