Метрика Райснера — Нордстрема — статичний розв'язок рівнянь поля Ейнштейна — Максвелла, що відповідає гравітаційному полю зарядженого, не обертового, сферично-симетричного тіла масою M. Аналогічний розв'язок для зарядженого тіла, що обертається, дає метрика Керра — Ньюмена.
Метрику відкрито між 1916 і 1921 роками. Незалежно один від одного її відкрилиBig Think Ганс Райснер, Герман Вейль, і .
Метрика У сферичних координатах , метрика Райснера — Нордстрема дається виразом де це швидкість світла, — власний час, — координата часу (вимірюється стаціонарним годинником на нескінченності), — радіальна координата, — сферичні кути, — радіус Шварцшильда тіла, заданий як а — інший характерний масштаб довжини, заданий формулою Тут — електрична стала.
Загальна маса центрального тіла та його незвідна маса пов'язані співвідношеннямThibault Damour: Black Holes: Energetics and Thermodynamics, S. 11 ff.Ashgar Quadir: The Reissner Nordström Repulsion
Різниця між і обумовлена внеском у загальну масу від енергії електричного поля (див. також еквівалентність маси та енергії).
В граничному випадку, коли заряд (або, що еквівалентно, шкала довжини ) прямує до нуля, метрика Райснера — Нордстрема переходить у метрику Шварцшильда. Класична ньютонівська теорія гравітації реалізується у випадку, коли відношення прямує до нуля. А у випадку, коли і , і обидва прямують до нуля, метрика стає метрикою Мінковського для спеціальної теорії відносності.
Заряджені чорні діри Хоча заряджені чорні діри з rQ ≪ rs подібні до чорної діри Шварцшильда, вони мають два горизонти: горизонт подій і внутрішній горизонт Коші. Як і у випадку з метрикою Шварцшильда, горизонти подій для простору-часу розташовані там, де компонент метрики розходиться; тобто де
Це рівняння має два розв'язки:
Ці концентричні горизонти подій стають виродженими для 2rQ = rs, що відповідає екстремальній чорній дірі. Чорні діри з 2rQ > rs не можуть існувати в природі, оскільки для них не може бути фізичного горизонту подій (член під квадратним коренем стає від'ємним)Andrew Hamilton: The Reissner Nordström Geometry (Casa Colorado). У природі можуть існувати об'єкти із зарядом, що перевищує їхню масу (у безрозмірнісних природних одиницях G = M = c = K = 1), але вони не можуть колапсувати до чорної діри, а якби могли, вони б мали голу сингулярність. Суперсиметричні теорії зазвичай гарантують, що такі «суперекстремальні» чорні діри не можуть існувати.
Електромагнітний потенціал має вигляд
Гравітаційне уповільнення часу Гравітаційне уповільнення часу в околицях центрального тіла визначається як
що дозволяє розрахувати локальною радіальну швидкість вильоту нейтральної частинки
Символи Крістофеля Символи Крістофеля з індексами мають ненульові компоненти
Враховуючи символи Крістоффеля, можна обчислити геодезичні пробної частинкиLeonard Susskind: The Theoretical Minimum: Geodesics and Gravity, (General Relativity Lecture 4, timestamp: 34m18s)Eva Hackmann, Hongxiao Xu: Charged particle motion in Kerr–Newmann space-times.
Тетрадна форма Замість того, щоб працювати в голономному базисі, можна виконувати ефективні обчислення за допомогою Wald, General Relativity. Нехай буде набором один-форм із внутрішнім індексом Мінковського , так що . Метрику Райснера можна описати за допомогою тетради
,
,
де . Паралельне перенесення тетради виражається . Ці формули мають лише 24 незалежні компоненти порівняно з 40 компонентами . Зв'язки можна визначити шляхом аналізу рівняння Картана , де ліва частина — зовнішня похідна тетради, а права — зовнішній добуток.
Тензор Рімана можна побудувати як сукупність два-форм за допомогою другого рівняння Картана що знову ж таки використовує зовнішню похідну та зовнішній добуток. Цей підхід значно швидший, ніж традиційне обчислення через ; зауважте, що є лише чотири ненульових значення проти дев'яти ненульових компонент .
Рівняння руху
Через сферичну симетрію метрики систему координат завжди можна орієнтувати таким чином, що рух пробної частинки відбувався в даній площині, тому для стислості та без обмеження загальності ми використовуємо θ замість φ. У безрозмірнісних природних одиницях G = M = c = K = 1 рух електрично зарядженої частинки із зарядом q задається формулою що дає
Усі повні похідні взяті за власним часом, .
Константи руху задаються розв'язками рівняння в частинних похідних після заміни других похідних, наведених вище. Сама метрика є розв'язком, якщо її записати як диференціальне рівняння
Рівняння з відокремлюваними змінниминегайно дає сталий релятивістський питомий кутовий момент Третя константа інтегрування, отримана з рівнянняє питомою енергією (енергією на одиницю маси спокою)
Підставляючи і в , отримуємо радіальне рівняння
Множення під знаком інтеграла на дає рівняння орбіти
Загальне уповільнення часу між пробною частинкою та спостерігачем на нескінченності становить
Перші похідні і контраваріантні компоненти локальної 3-швидкості пов'язані між собою формулою що дає початкові умови
Питома орбітальна енергія і питомий відносний кутовий момент пробної частинки є інтегралами руху. і — радіальна та поперечна складові локального вектора швидкості. Тому локальна швидкість дорівнює
Альтернативне формулювання метрики Метрику можна виразити у в такий спосіб:
Зауважте, що k — одиничний вектор. Тут M — стала маса об'єкта, Q — сталий заряд об'єкта, а η — тензор Мінковського.
Квантово-гравітаційні поправки до метрики У деяких підходах до квантової гравітації до класичної метрики Райснера–Нордстрема додають квантові поправки. Прикладом цього є підхід до теорії ефективного поля, започаткований Барвінським і Вілковіським. У другому порядку кривини класична дія Ейнштейна-Гільберта доповнюється локальними та нелокальними членами:
де є енергетичною шкалою. (Тут скорочується з , а скорочується з .) Точні значення коефіцієнтів невідомі, оскільки вони залежать від природи ультрафіолетової теорії квантової гравітації. З іншого боку, коефіцієнти піддаються обчисленню. Оператор має інтегральне представлення
Нові додаткові члени в дії передбачають модифікацію класичного рішення. Скоригована квантовими ефектами метрика Райснера–Нордстрема до членів порядку була знайдена Кампосом Дельгадо:
де
Див. також Теореми Пенроуза — Гокінга про сингулярність
Примітки
Література
Посилання
Spacetime diagrams, Andrew J. S. Hamilton «Particle Moving Around Two Extreme Black Holes», Enrique Zeleny, Wolfram Demonstrations Project.