У геометрії точкова група симетрії у випадку трьох вимірів — це група ізометрій тривимірного простору, яка залишає фіксованим початок координат, або, відповідно, група ізометрій сфери. Це підгрупа ортогональної групи O(3), групи всіх ізометрій, які залишають фіксованим початок координат, або, відповідно, групи ортогональних матриць (всі операції обертання та відображення). Сама O(3) є підгрупою евклідової групи E(3) усіх ізометрій (додатково ще операції паралельного переносу).
Групи симетрії геометричних об'єктів є групами ізометрії. Відповідно, аналіз груп ізометрій є аналізом можливих симетрій. Усі ізометрії обмеженого (кінцевих розмірів) тривимірного об'єкта мають одну або декілька спільних фіксованих точок. Ми дотримуємося звичайної конвенції, вибираючи початком координат одну з них.
Групу симетрії об'єкта іноді також називають його повною групою симетрії, на відміну від його власної групи симетрії, яка є перетином його повної групи симетрії з E +(3). Остання складається з усіх прямих ізометрій. Останні є такими, що зберігають орієнтованість об'єкту, або хіральність.
Для просторово-обмеженого об'єкта правильна група симетрії називається його групою обертання. Це перетин його повної групи симетрії з SO(3), групою повного обертання тривимірного простору. Група обертання обмеженого об'єкта дорівнює його повній групі симетрії тоді і тільки тоді, коли об'єкт хіральний.
Точкові групи, які походять суто від скінченного набором дзеркальних площин відбиття, що проходять через одну точку, є скінченними групами Коксетера, які записуються, з використанням нотації Коксетера.
Точкові групи симетрії в 3D знаходять широке використання в хімії, особливо для опису симетрії молекули та її молекулярних орбіталей, які утворюють ковалентні зв'язки. В цьому контексті їх також називають молекулярними точковими групами.
Тривимірні ізометрії, які залишають фіксованим початок координат Операції групи симетрії — це перетворення (ізометрії) тривимірного простору R3, які залишають фіксованим початок координат, утворюючи групу O(3). Тут, ізометрія — перетворення, яке зберігає довжини. Ці операції можна класифікувати як:
Прямі (зі збереженням хіральності) операції симетрії, які утворюють групу SO(3): Операція тотожності, позначена E або матриця тотожності I (одинична). Поворот навколо осі через початок координат на кут θ. Поворот на θ = 360°/ n для будь-якого натурального числа n позначається C n (з позначення Шенфліса для групи C n, яку він породжує). Операція тотожності, яку також записують C 1, є окремим випадком оператора повороту. Непрямі операції (зміна хіральності): Інверсія, позначається i або C i, тобто поворот на 180° навколо координатної осі з наступним відображенням в ортогональній координатній площині. Позначення матриці — I. Відбиття на площині через початок координат, позначається σ. Поворот-відображенням: обертання навколо осі на кут θ у поєднанні з відображенням у площині через початок координат, перпендикулярний до осі. Обертання-відображення на θ = 360°/ n для будь-якого натурального числа n позначається S n (з позначення Шенфліса для групи S n, яку вона породжує, якщо n парне).
Операція інверсії є окремим випадком обертання-відображення (тобто i = S 2), як і відбиття (σ = S 1), тому ці операції часто вважаються «неправильними обертаннями».
Символ циркумфлексу може додаватися до символів для позначення оператора, наприклад, у Ĉn і Ŝn.
Спряженість Порівняння типів симетрії двох об'єктів вимагає, щоби початок координат вибирався для кожного з них окремо, тобто вони не повинні мати однаковий центр. Крім того, два об'єкти відносяться до одного типу симетрії, якщо їхні групи симетрії є спряженими підгрупами O(3) (дві підгрупи H 1, H 2 групи G є спряженими, якщо існує g ∈ G такий, що H 1 = g −1 H2g).
Наприклад, два 3D-об'єкти мають однаковий тип симетрії:
якщо обидва мають дзеркальну симетрію, але відносно різних дзеркальних площин якщо обидва мають 3-кратну обертову симетрію, але відносно різних осей обертання.
Для кількох дзеркальних площин та/або осей обертання, дві групи симетрії мають один і той же тип симетрії у випадках, коли існує операція обертання, яка переводить всю структуру першої групи симетрії на структуру другої. Насправді, буде більше одного такого обертання, але не нескінченна кількість. Означення спряженості також дозволяє дзеркальне відображення структури, але це не вимагається, якщо сама структура є ахіральною. Наприклад, якщо група симетрії містить вісь обертання 3-го порядку, вона містить обертання і у двох протилежних напрямках. Відповідно, структура є хіральною для 11 пар просторових груп із гвинтовою віссю.
Нескінченні групи ізометрій Існує ряд нескінченних груп ізометрії. Наприклад, «циклічна група» (тобто така, що вона породжена одним елементом — не плутати з періодичною групою), створена обертанням на ірраціональну кількість обертів навколо осі. Можна побудувати нециклічні абелеві групи, додавши додаткові повороти навколо однієї осі. Набір точок на колі з раціональними числами градусів навколо кола ілюструє точкову групу, що відповідає нескінченній кількості породжувальних множин групи. Існують також неабелеві групи, породжені поворотами навколо різних осей. Зазвичай це (загалом) вільні групи. Вони будуть нескінченними, якщо обертання не вибрано спеціально.
Усі згадані нескінченні групи не є замкненими в сенсі топологічних підгруп O(3). Тепер обговоримо топологічно замкнуті підгрупи O(3).
O(3) є групою симетрії сферичної симетрії. SO(3) — відповідна група обертання, якщо виключити просторові інверсії та дзеркальні відображення. Групи з відображенням у площинах, що проходять через вісь, з або без відбивання в площині через початок координат, перпендикулярний до осі, є групами симетрії для двох типів циліндричної симетрії. Будь-яка тривимірна форма (підмножина R3), що має нескінченну обертову симетрію, також повинна мати дзеркальну симетрію для кожної площини, що проходить через вісь. Фізичні об'єкти, що мають нескінченну обертову симетрію, також матимуть симетрію дзеркальних площин, що проходять через вісь, але векторні поля можуть не мати цієї симетрії, наприклад, вектори швидкості конуса, що обертається навколо своєї осі, або магнітне поле, що оточує дріт.
Існує сім неперервних груп, які є в певному сенсі границями кінцевих груп ізометрії. Ці так звані граничні точкові групи або граничні групи Кюрі названі на честь П'єра Кюрі, який першим їх дослідив. Сім нескінченних рядів осьових (аксіальних) груп призводять до п'яти граничних груп (дві з них є дублікатами), а сім точкових груп, що залишилися, утворюють ще дві неперервні групи. У міжнародній нотації Германа — Моґена граничні групи Кюрі мають вигляд ∞, ∞2, ∞/m, ∞mm, ∞/mm, ∞∞ і ∞∞m. Не всі з них можливі для фізичних тіл, наприклад, об'єкти із симетрією ∞∞ також мають симетрію ∞∞m. Однак, вони мають відмінності для фізичних величин та характеристик: ∞∞ описує симетрію псевдоскаляра, ∞∞m — скаляра.
Інші позначення та додаткові відомості дивіться нижче.
Скінченні групи ізометрій Операції симетрії в тривимірному просторі, які залишають фіксованим початок координат, можуть бути повністю описані по аналогії із симетрією сфери з центром у початку координат. Відповідно, для скінченних тривимірних точкових груп див. також групи сферичної симетрії.
З точністю до спряженості множина скінченних тривимірних точкових груп складається з:
Сім нескінченних серій осьових груп, які мають щонайбільше одну більш ніж 2-кратну вісь обертання; вони є скінченними групами симетрії на нескінченному циліндрі, або, що еквівалентно, групами симетрії на скінченному циліндрі. Іноді їх називають осьовими або призматичними точковими групами. Сім груп, що залишилися, які мають декілька осей обертання кратності 3 або більше; ці групи також можна охарактеризувати як точкові групи з декількома 3-кратними осями обертання. Можливі такі комбінації: Чотири 3-кратні осі (три тетраедричні симетрії T, Th і Td) Чотири 3-кратні осі та три 4-кратні осі (октаедричні симетрії O та Oh) Десять 3-кратних осей і шість 5-кратних осей (ікосаедричні симетрії I та Ih)
Відповідно до теореми кристалографічного обмеження лише обмежена кількість точкових груп сумісна з дискретною трансляційною симетрією : 27 з 7 нескінченних рядів і 5 з 7 інших. Разом вони утворюють 32 так звані кристалографічні точкові групи (класи). Відповідно, кристали можуть мати лише осі симетрії порядку 1, 2, 3, 4 або 6
Сім нескінченних рядів осьових груп Нескінченний ряд аксіальних або призматичних груп має індекс n, який може бути будь-яким цілим числом. У кожній серії n-та група симетрії містить n-кратну обертову симетрію відносно осі, тобто симетрію відносно повороту на кут 360°/ n. Випадок n =1 описує повну відсутність обертової симетрії (операція тотожності). Є чотири серії без інших осей обертової симетрії (див. циклічні симетрії) і три з додатковими осями 2-кратної симетрії (див. діедрична симетрія). Їх можна розуміти як точкові групи симетрії у двох вимірах, розширених осьовою координатою та відображеннями в ній. Вони відносяться до груп бордюрів. Їх можна інтерпретувати як групи бордюрів, що повторюються n разів навколо циліндра.
У наступній таблиці наведено кілька позначень для точкових груп: нотація Германа — Моґена (використовується в кристалографії), нотація Шенфліса (використовується для опису молекулярної симетрії), орбіфолдна нотація та нотація Коксетера. Останні три не тільки зручно пов'язані з його властивостями, а й з порядком групи. Орбіфолд — це уніфіковане позначення, яке також застосовується для груп орнаменту і груп бордюрів. Кристалографічні групи мають n, з можливими значеннями 1, 2, 3, 4 і 6; зняття кристалографічного обмеження (у випадку квазікристалів, некристалічних структур, тощо) допускає будь-яке натуральне число. Відповідні серії: Міжнароднінотація Шенфлісаорбіфолдна нотаціянотація КоксетераБордюрАбстрактніПорядокПрикладКоментарПарні nНепарні n(циліндр)nCnnn[n]+p1Znnn-кратна обертова симетріяS2nn×[2n+,2+]p11gZ2n2n2n-кратна обертово-відбивальна симетріяn/mCnhn*[n+,2]p11mZn×Z22nnmmnmCnv*nn[n]p1m1Dihn2nПірамідальна симетрія; в біології, бірадіальна симетріяn22n2Dn22n[n,2]+p211Dihn2nДіедрична симетрія2mmDnd2*n[2n,2+]p2mgDih2n4nАнтипризматична симетріяn/mmm2mDnh*22n[n,2]p2mmDihn×Z24nПризматична симетрія
Для випадків непарних n тут маємо Z 2 n = Z n × Z 2 і Dih 2 n = Dih n × Z 2..Групи C n (включаючи тривіальну C 1) і D n — хіральні. Інші є ахіральними.
Поняття «горизонтальний» (h) і «вертикальний» (v) і відповідні нижні індекси відносяться до додаткової площини дзеркального відбиття, яка може бути паралельна осі обертання (вертикальна) або перпендикулярна до неї (горизонтальна).
Найпростіші нетривіальні осьові групи є еквівалентними абстрактній групі Z 2 :
C i (еквівалент S 2) — інверсійна симетрія C 2 — 2-кратна обертова симетрія C s (еквівалент C 1h і C 1v) — відбивна симетрія, також звана білатеральною симетрією.
Однак у тривімірному просторі ці дві операції розрізняються: група симетрії, позначена D n, містить n осей другого порядку, перпендикулярних до n-кратної осі, а не дзеркального відображення. D n — група обертання n-гранної призми з правильною основою та n-бічної біпіраміди з правильною основою, а також правильної n-бічної антипризми та правильного n-бічного трапецоедра. Ця група також є групою повної симетрії таких об'єктів після того, як вони стали хіральними, наприклад, після хірального маркування на кожній грані або деякою модифікацією форми.
Якщо ж додати як горизонтальну, так і вертикальну площини відбиття, їх перетини дасть n осей обертання на 180°. Ця група більше не буде одновісною. Ця нова група порядку 4n називається Dnh. Її підгрупою обертань буде діедрична група D n порядку 2n, яка все ще має двократні осі обертання, перпендикулярні до основної осі обертання, але вже не має дзеркальних площин відбиття.