У теорії чисел теорема про суму двох квадратів пов'язує розкладання будь-якого цілого числа на прості множники з тим, чи можна його записати як суму двох квадратів, так що для деяких цілих чисел , .Ціле число, більше за одиницю, можна записати як суму двох квадратів тоді й лише тоді, коли його розклад на прості множники не містить множника , де просте і непарне.У записі числа у вигляді суми двох квадратів допускається, щоб один із квадратів дорівнював нулю або обидва вони дорівнювали один одному, тому всі квадрати та всі подвійні квадрати входять до чисел, які можна подати в такий спосіб. Ця теорема доповнює теорему Ферма про суму двох квадратів, яка каже, коли просте число можна записати у вигляді суми двох квадратів, оскільки вона також охоплює випадок складених чисел.
Число може мати кілька подань у вигляді суми двох квадратів, які підраховує функція суми квадратів; наприклад, кожна трійка Піфагора дає друге подання для окрім тривіального подання .
Приклади Дано розклад на прості множники числа 2450: . З простих чисел, що зустрічаються в цьому розкладі, 2, 5 і 7, тільки 7 дорівнює 3 за модулем 4. Його показник степеня в розкладі, 2, є парним. Отже, згідно з теоремою, його можна подати, як суму двох квадратів. Дійсно, .
Розклад на прості множники числа 3430 такий: . Цього разу показник 7 у розкладі дорівнює непарному числу 3. Отже, 3430 не можна записати, як суму двох квадратів.
Подавані числа Числа, які можна подати у вигляді суми двох квадратів, утворюють послідовність
0, 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, …
Вони утворюють множину всіх норм гауссових цілих чисел; їхні квадратні корені утворюють множину всіх довжин відрізків між парами точок двовимірної цілочисельної ґратки.
Кількість подаваних чисел у діапазоні від 0 до будь-якого числа пропорційна , із граничною сталою пропорційності, заданою сталою Ландау — Рамануджана, приблизно 0,764.
Добуток будь-яких двох подаваних чисел є іншим подаваним числом. Його подання можна отримати з подань множників, використовуючи тотожність Брамагупти — Фібоначчі.
Теорема Якобі про два квадрати Теорема Якобі про два квадрати стверджуєКількість подань у вигляді суми двох квадратів дорівнює помноженій на 4 різниці між кількістю дільників , рівних 1 за модулем 4, і кількістю дільників , рівних 3 за модулем 4.Гіршгорн наводить коротке доведення, отримане з .
Див. також Теорема Лежандра про три квадрати Теорема Лагранжа про чотири квадрати Функція суми квадратів Тотожність Брамагупти
Примітки