En potensserie (i en variabel) är en serie på formen
där koefficienterna an, centrumpunkten c och variabeln x vanligtvis är reella eller komplexa tal. Serier av den här typen dyker upp i samband med Taylorserier.
I många sammanhang är c lika med noll, till exempel för en Maclaurinserie. I dessa fall får potensserien det något enklare utseendet
Sådana här potensserier dyker främst upp inom analysen, men också inom kombinatoriken (som genererande funktioner) och elektrotekniken (i Z-transformen). Decimalnotationen för heltal kan ses som en potensserie där x är lika med 10.
Egenskaper Om en reell potensserie konvergerar för något , konvergerar den absolut för alla sådana att . Antingen konvergerar serien för alla eller finns det en konvergensradie, , sådan att serien konvergerar för . För går det inte att säga något allmänt om konvergens − potensserien kan konvergera betingat, absolut eller divergera. Innanför konvergensradien kan serien deriveras och integreras termvis enligt
.
Detta är inte en självklar egenskap utan kommer ifrån att potensserier konvergerar likformigt.
Ovanstående egenskaper utvidgas enkelt till komplexa potensserier.
Exempel Ett polynom kan enkelt uttryckas som en potensserie runt något centrum c, även om de flesta koefficienterna blir lika med 0. Till exempel så kan polynomet skrivas runt c=0 som
eller runt c=1 som
Ett par av de viktigaste exemplen är den geometriska serien
som konvergerar för |x| < 1 samt exponentialfunktionen
Dessa serier har varit Taylorserier, men det finns potensserier som inte är Taylorserier till någon funktion, till exempel
Koefficienterna i en potensserie an får inte bero på x. Följande är alltså inte ett exempel på potensserier.
Källor
Externa länkar
Kategori:Matematiska serier