miniatyr|En passare används för att rita cirklar.
Geometri (grekiska: γεωμετρια geometria; av γεω geo ”jord”, och μετρια metria ”mäta”, det vill säga”lantmätarkonst”) är en gren av matematiken där man studerar vilka egenskaper figurer har i ett rum eller, mer generellt, rumsliga samband. Geometrin var en av de två ursprungliga matematiska disciplinerna, vid sidan av talteorin (studiet av talen).
I modern tid har geometrin generaliserats till en hög abstraktionsnivå och komplexitet. Många av dess grenar berörs idag av matematisk analys och abstrakt algebra och kan vara mycket svåra att känna igen som ättlingar till den tidigaste geometrin. Beroende på vilka axiom man utgår ifrån får man olika geometrier, det vill säga geometriska teorier.
Historia
miniatyr|250 px|Ett kinesiskt bevis för Pythagoras sats.
Den allra äldsta bevarade geometrin, som kommer från det gamla Egypten och Babylonien (Mesopotamien) med början omkring 3 000 f.Kr.,J. Friberg, "Methods and traditions of Babylonian mathematics. Plimpton 322, Pythagorean triples, and the Babylonian triangle parameter equations", Historia Mathematica, 8, 1981, pp. 277—318. Chap. IV "Egyptian Mathematics and Astronomy", pp. 71–96. var en samling empiriskt härledda principer om längd, vinklar, ytor och volymer, som man utvecklat för att tillfredsställa de praktiska behov som uppstått ur lantmäteri, konstruktion, astronomi och olika hantverk. Flera av dessa principer var förvånansvärt sofistikerade, och dagens matematiker kan ha svårt att härleda dem utan att använda matematisk analys. Till exempel kände både egyptierna och babylonierna till Pythagoras sats omkring 1 500 år före Pythagoras. Egyptierna kunde korrekt beräkna volymen på en stympad pyramid med kvadratisk bas och babylonierna hade trigonometriska tabeller.(Boyer 1991, "Egypt" sid. 19)The Journal of Egyptian Archaeology. Vol. 84, 1998 Gnomons at Meroë and Early Trigonometry. pg. 171Neolithic Skywatchers. May 27, 1998 by Andrew L. Slayman Archaeology.org
I Kina hade man med största sannolikhet kommit lika långt inom matematiken.
Den grekiska perioden (600 f.Kr.–600 e.Kr.) Grekerna utvecklade från och med 600-talet f.Kr. geometrin till att omfatta många nya figurer, kurvor, ytor och kroppar. De ersatte tidigare induktiva metoder med logiska, deduktiva, och de insåg att geometrin studerar abstrakta, ideala former. De upptäckte även det axiomatiska system som under mer än 2 000 år betraktats som det ideala paradigmet för alla vetenskapliga teorier.
Thales skrev deduktiva bevis för fem geometriska satser, men dessa bevis är försvunna.(Boyer 1991, "Ionia and the Pythagoreans" sid. 43) Pythagoras upptäckte inte den sats som idag bär hans namn, men han var den förste som kunde presentera ett deduktivt bevis för den.Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990, . Pythagoréerna och hans lärjungar studerade matematik, musik och filosofi, och tillsammans utforskade de det mesta av den geometri som idag studeras på gymnasiet. Dessutom upptäckte man, till sin egen förtvivlan, inkommensurabla sträckor och därmed de irrationella talen.
Matematiker accepterade Platons övertygelse att geometrin uteslutande skulle använda sig av passare och en ograderad linjal och aldrig någon form av mätverktyg, gradskiva eller något annat verktyg som man förknippade med praktiskt hantverk. Detta maxim gjorde att man fördjupade sig i konstruktioner med passare och linjal och dess tre klassiska konstruktionsproblem: kubens fördubbling, vinkelns tredelning och cirkelns kvadratur. De bevisades omöjliga i dessa konstruktioner först på 1800-talet. Aristoteles skrev en traktat om metodisk argumentation i deduktiva bevis, en metodlära som förblev oförändrad ända fram till 1800-talet.
Euklides skrev Geometrins elementa, en axiomatisk beskrivning av geometrin.(Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" sid. 104)Howard Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990, p. 141: "No work, except The Bible, has been more widely used...." Detta var det första systematiska arbetet byggt på axiom och författat cirka år 300 f.Kr. Även Eudoxos var ett viktigt namn i utvecklingen av den tidiga grekiska geometrin.
Det grekiska utvecklandet av geometrin fick dock en nedgång efter cirka 200 f.Kr., efter författandet av verk av Apollonios från Perga samt banbrytande verk av Arkimedes. Den sistnämnde utvecklade metoder som starkt påminner om den analytiska geometrins koordinatsystem och integralkalkylens approximationer. Det enda som saknades för att han skulle kunna skapa dessa matematiska discipliner var verkningsfulla algebraiska beteckningar som kunde uttrycka hans idéer.
Medeltiden, renässansen och reformationen Den islamiska dominansen i Mellanöstern, Nordafrika och Spanien inleddes omkring 640 e.Kr. Biblioteket i Alexandria brändes ned av kristna vid 300-talet. De första framstående persiska matematikerna ägnade sig mer åt algebra än geometri, även om exempelvis poeten och geometrikern Omar Khayyam bidrog med viktiga kommentarer till ämnet.R. Rashed (1994), The development of Arabic mathematics: between arithmetic and algebra, p.35 London I Europa förföll matematiken till den grad att till och med de klassiska verken gick förlorade där och bara överlevde via de islamiska lärdomscentrerna.Boris A. Rosenfeld and Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometry", in Roshdi Rashed, ed., Encyclopedia of the History of Arabic Science, Vol. 2, p. 447–494 , Routledge, London and New York:
Under medeltidens slut studerades de klassiska grekiska och romerska verken i islamiska bibliotek och översattes från arabiska till latin. Man återupptäckte Euklides Elementa och geometrins deduktiva metoder återerövrades. Utvecklingen av geometrin i enlighet med Euklides metoder återupptogs, och ett stort antal viktiga och till och med eleganta satser och begrepp tillkom.
1600-talet och början av 1700-talet Descartes och Fermat introducerade analytisk geometri med koordinater och ekvationer. Desargues studerade projektiv geometri utan användning av måttenheter, egenskaper som inte påverkas av projektion (till exempel hur punkter relaterar sig till varandra).
I slutet av 1600-talet utvecklade, oberoende av varandra, Newton (1642–1727) och Leibniz (1646–1716) differentialkalkylen. Det blev början på ett helt ny gren inom matematiken som idag kallas analys; denna gjorde det enkelt att hitta tangenten till godtyckliga kurvor och att finna arean hos en yta som omsluts av sådana kurvor.
Parallellpostulatets fall Saccheri (1667–1733), Lambert (1728–1777) och Legendre gjorde under 1700-talet var och en för sig viktiga upptäckter kring detta bevis för Euklides parallellpostulat, men ingen av dem lyckades hitta lösningen. I början av 1800-talet valde Gauss, Bolyai och Lobatjevskij en annan väg. Oberoende av varandra drog de slutsatsen att det var omöjligt att bevisa parallellpostulatet, och de började istället utveckla en icke-euklidisk geometri där postulatet var falskt. 1854 presenterade Riemann, som studerat för Gauss, ett banbrytande arbete där han visade hur differentialkalkylen kunde appliceras på rum med godtyckligt antal dimensioner, det vill säga en fristående geometri som var giltig för alla släta ytor.
Eugenio Beltrami bevisade 1868 att den icke-euklidiska geometrin var fristående. En lång och noggrann undersökning hade till sist uppdagat logiska brister i Euklides resonemang och outtalade antaganden som hans argumentation vilade på. Samtidigt drabbades differentialkalkylen och den numeriska analysen av en kris sedan man misslyckats med att hantera betydelsen av oändliga processer som konvergens och kontinuitet.
I geometrin fanns ett påtagligt behov av en ny uppsättning postulat som var helt oklanderliga och stod helt oberoende av bilder på ett papper och vår intuitiva bild av ett rum. David Hilbert presenterade 1899 en ny uppsättning geometriska axiom. Hans axiom anslöt sig till Euklides diton och har fått betydelse i modern pedagogik genom ett överbryggande mellan euklidisk och icke-euklidisk geometri.
Grundläggande begrepp Några grundläggande begrepp inom geometrin är:
Punkt
En punkt betecknar inom geometri ett objekt utan någon utsträckning. För att ange en punkts läge används koordinater. Antalet koordinater som behövs för att ange punktens läge bestäms av dimensionen.
Linje miniatyr|En triangel (med tre räta sidor) och två parallella linjer i det hyperbolska rummet.
En linje är en utsträckning i rummet med en dimension. Det innebär att läget för en punkt på linjen bestäms av en koordinat, vilket är det samma som ett matematiskt tal. Med linje menar man oftast en rät linje, men det kan generellt sett vara vilken kurva som helst.
Plan
Ett plan är en utsträckning i rummet med två dimensioner; en rät linje som förbinder två punkter på ytan ligger därför till hela sin längd i på ytan (i planet). En punkts läge i ett plan bestäms alltså av två koordinater, och koordinaterna anger punktens läge i förhållande till ett koordinatsystem. En yta är också tvådimensionell och utgör en yttre begränsning av en kropp, eller en avgränsning mellan två kroppar.
Kropp
En kropp är ett objekt i tre dimensioner. Volymen är ett mått på kroppens innehåll.
Symmetri
Ett annat grundläggande begrepp inom geometri är symmetri. Inom geometrin avser man med symmetri oftast spegelsymmetri, vilket innebär att ett föremål är identiskt med spegelbilden av ett annat föremål i något plan.
Geometriska former Några av de allra vanligaste geometriska objekten är: Kvadrat – består av fyra hörn på 90 grader och fyra lika långa sidor. Arean är samma som sidlängden gånger två. Diagonalerna halverar varandra. Rektangel – består av fyra hörn på 90 grader. Area = längd x höjd. Diagonalerna halverar varandra. Cirkel – en oändlig mängd punkter med samma avstånd från en central punkt. Area = pi × radie².
Grenar Det finns flera grenar inom geometrin, bland annat:
Analytisk geometri
Analytisk geometri är en gren av geometrin där algebraiska metoder från främst linjär algebra används för att lösa geometriska problem.
Metoder från analytisk geometri används inom alla tillämpade vetenskaper, men särskilt inom fysiken som för att beskriva planeternas banor. Ursprungligen behandlade analytisk geometri endast frågor rörande planet och den rumsliga (euklidiska) geometrin. Mera allmänt beskriver den analytiska geometrin affina rum av godtyckliga dimensioner över godtyckliga kroppar.
Euklidisk geometri miniatyr|Illustration av parallellaxiomet.
Inom euklidisk geometri gäller Euklides fem axiom, av vilka ett är det så kallade parallellaxiomet. De geometriska teorier som inte bygger på parallellaxiomet kallas icke-euklidiska geometrier.
De olika teorierna ger olika sanningsvärden för vissa geometriska påståenden. Inom euklidisk geometri är det till exempel sant att vinkelsumman i en triangel alltid är 180 grader, vilket inte är fallet i icke-euklidisk geometri.
Den euklidiska geometrin är den konventionella form av geometri som lärs ut i skolorna, då den har otaliga praktiska tillämpningar. Man kan grovt göra följande uppdelning:
polygoner och polyedrar, inklusive… triangeln kvadraten
beräkningar med vinklar (trigonometri) kägelsnitt, inklusive cirklar ellipser parabler hyperbler
Icke-euklidisk geometri
En icke-euklidisk geometri är en geometrisk teori där Euklides femte axiom, det så kallade parallellaxiomet, inte gäller. Både hyperbolisk och elliptisk geometri (den senare inkluderar exempelvis sfärisk geometri) är icke-euklidiska, och de står därmed i kontrast till euklidisk geometri. Den hyperboliska geometrin utvecklades under första halvan av 1800-talet, av namn som Gauss, Bolyai och inte minst Lobatjevskij (se ovan). Bolyai kallade sin teori för absolut geometri.