Svag konvergens är ett matematiskt begrepp i funktionalanalys och syftar på en speciell typ av konvergens i Banach- och Hilbertrum.
Definition En följd av punkter i ett Banachrum X sägs konvergera svagt till x om
för alla begränsade linjära funktionaler f, dvs alla f i dualrummet X.
Att konvergerar svagt till x skrivs:
Speciellt kan man i ett Hilbertrum H uttrycka svag konvergens som att konvergerar svagt till x om
för alla y i H, där är den inre produkten. Detta kommer av att varje linjär begränsad funktional i ett Hilbertrum kan representeras med hjälp av den inre produkten och ett y i H som ovan, enligt Riesz representationssats.
Svag kontra stark konvergens Svag konvergens kan jämföras med det vanliga konvergensbegreppet, stark konvergens eller konvergens i norm'''. En följd i ett Banachrum sägs konvergera stark till x om
där är normen i Banachrummet. Dessa två konvergensbegrepp definierar två olika topologier på rummet. Topologin inducerad av svag konvergens kallas svag topologi.
Egenskaper Om en följd konvergerar svagt till x kan man visa att många egenskaper som gäller för starkt konvergenta följder gäller även för : Gränsvärdet x är unikt. Varje delföljd av konvergerar svagt till x. Följden är begränsad. Om gäller att .
Stark konvergens implicerar svag konvergens:
Det omvända gäller i ändligtdimensionella vektorrum, men inte i allmänhet. En svagt konvergent följd behöver alltså inte vara starkt konvergent men om den är det så är det svaga och starka gränsvärdet samma.
Om xn konvergerar svagt till x'' gäller
Referenser
Kategori:Funktionalanalys