En normal delgrupp är inom den abstrakta algebran en särskild sorts delgrupp, som är av fundamental betydelse vid konstruktionen av kvotgrupper. En delgrupp N till en grupp G, kallas för en normal delgrupp om den är invariant under varje inre automorfi på G, det vill säga om avbildningen g-1Ng = N för alla element g i G. Matematikern Évariste Galois var den förste, som insåg betydelsen av att skilja på vanliga och normala delgrupper.
Definition Om G är en grupp och N en delgrupp till G, så är N en normal delgrupp till G om N är invariant under konjugering. Detta kan även uttryckas enligt följande: N är normal, om för alla h i N och alla g i G, är ett element i N.
Att N är en normal delgrupp till G skrivs oftast eller .
Följande tre alternativa definitioner av normal delgrupp är ekvivalenta:
N är en normal delgrupp i G om N är en normal delgrupp i G om gN = Ng, det vill säga om N:s vänstersidoklasser och högersidoklasser sammanfaller. N är en normal delgrupp i G om det existerar en homomorfi på G vars kärna är N.
En normal delgrupp M säges vara en maximal normal delgrupp i G om M ≠ G och det inte finns någon normal delgrupp N i G sådan att .
Exempel , vars enda element är det neutrala elementet och hela gruppen G är triviala normala delgrupper till G. Om G endast har triviala normala delgrupper, sägs G vara en enkel grupp. Om G är en abelsk grupp är samtliga dess delgrupper normala, ty . En grupp som inte är abelsk och vars alla delgrupper är normala kallas för hamiltonsk grupp. Den alternerande gruppen An, gruppen som består av alla jämna permutationer, är en normal delgrupp i den symmetriska gruppen Sn.
Egenskaper Kärnan till en grupphomomorfi f : G → H är en normal delgrupp av G. Normalitet bevaras av surjektiva homomorfier. Om N är normal i G och F är en delgrupp i G sådan att N≤F≤G, så är N normal i F. Normalitet är inte en transitiv relation, en normal delgrupp till en normal delgrupp till G behöver inte vara normal i G. Om en delgrupp N till G är normal kan man bilda kvotgruppen , ty man kan definiera multiplikation av sidoklasser enligt:
är maximal om och endast om är enkel.
Källor B.L. van der Waerden, Algebra, Springer Verlag 1950. I.N. Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell 1964.
Kategori:Egenskaper av delgrupper