Spektralradien (inte att förknippa med spektral radians) är det till beloppet största spektralvärdet för en operator. Begreppet är väsentligt inom spektralteori, som är en central gren inom funktionalanalys, och har omfattande tillämpningar inom bland annat kvantfysik, numerisk analys och hållfasthetslära.
Definition
I allmänhet För en operator säges dess spektralradie vara
där betecknar spektrumet till . Detta kan tolkas geometriskt som radien till den minsta cirkeln i det komplexa talplanet, centrerad i origo, som innehåller hela spektrumet till . Egenskaper Om är ett komplext Banachrum och är linjär och begränsad kan vi säga mer om spektralradien och spektrumet.
Eftersom spektrumet alltid är kompakt och icke-tomt så blir spektralradien nu
.
En skattning av spektralradien är .
Vi kan nu också ge en exakt uppskattning av den via Gelfands formel
där betecknar operatornormen.
Exempel Låt matrisen ha egenskapen att för något ( är nilpotent). Bestäm egenskaperna hos egenvärdena till .
Lösning Inget är sagt om för så vi måste anta att . Vi kan dock säga att för ty . Vi kan nu bilda Gelfands formel för att matriser är linjära och begränsade operatorer:
.
Då kommer det till slut stå
.
Alltså det enda egenvärdet till är 0.
Referenser
Kategori:Funktionalanalys Kategori:Operatorteori