Helmholtz sats är grundläggande inom vektoranalysenOn Helmholtz's Theorem in Finite Regions. Av Jean Bladel. Midwestern Universities Research Association, 1958.Hermann von Helmholtz. Clarendon Press, 1906. Av Leo Koenigsberger. p357.An Elementary Course in the Integral Calculus. Av Daniel Alexander Murray. American Book Company, 1898. sid. 8.J. W. Gibbs & Edwin Bidwell Wilson (1901) Vector Analysis, sid. 237, länk från Internet ArchiveElectromagnetic theory, Volume 1. Av Oliver Heaviside. "The Electrician" printing and publishing company, limited, 1893.Elements of the differential calculus. Av Wesley Stoker Barker Woolhouse. Weale, 1854.An Elementary Treatise on the Integral Calculus: Founded on the Method of Rates Or Fluxions. Av William Woolsey Johnson. John Wiley & Sons, 1881.Se även: fluxionsmetoden.Vector Calculus: With Applications to Physics. Av James Byrnie Shaw. D. Van Nostrand, 1922. p205.Se även: Greens sats.A Treatise on the Integral Calculus, Volume 2. Av Joseph Edwards. Chelsea Publishing Company, 1922. Satsen fastslår att varje tillräckligt slätt, snabbt föränderligt vektorfält i tre dimensioner, kan skrivas som en summa av ett virvelfritt vektorfält och ett solenoidalt (källfritt) vektorfält, vilket också är känt som Helmholtzuppdelningen efter Hermann von Helmholtz. Se: H. Helmholtz (1858) "Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welcher der Wirbelbewegungen entsprechen" (Om integraler av hydrodynamiska ekvationer som motsvarar virvelrörelser), Journal für die reine und angewandte Mathematik, 55: 25-55. På sidan 38 uttrycks vätskans hastighetskomponenter (u, v, v) som gradienten hos en skalärpotential P och dess rotation som en vektorpotential (L, M, N). Helmholtz föregicks dock av George Stokes 1849 i artikeln "On the dynamical theory of diffraction,", Transactions of the Cambridge Philosophical Society, vol. 9, del I, sid. 1-62; se sidorna 9-10. (publicerad 1856).
På grund av att det virvelfria vektorfältet har en skalärpotential och ett solenoidalt fält har en vektorpotential, innebär Helmholtzuppdelningen att ett vektorfält kan uppdelas i en summa av formen
där är ett skalärt fält, kallat skalärpotential och är ett vektorfält kallat vektorpotential.
Formell beskrivning Låt vara ett vektorfält över ett slutet område , vilket är dubbelt kontinuerligt differentierbart och låt vara ytan som omsluter området . Då kan delas upp i en virvelfri komponent och en källfri komponent:
där
och är gradienten med avseende på .
Om och därför är obegränsad och avtar snabbare än då , då är den andra komponenten av både skalärpotentialen och vektorpotentialen noll. Det vill säga, David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice-Hall, 1999, sid. 556.
Referenser
Noter
Kategori:vektoranalys