Konvergensradien för en potensserie är radien för den största cirkelskiva för vilken serien är konvergent. Den är endera ett icke-negativt reellt tal eller ∞. När radien är positiv är potensserien absolutkonvergent innanför den öppna cirkelskivan bestämd av konvergensradien och divergent utanför denna radie.
Definition För en potensserie ƒ definierad som
där a är en komplex konstant, positionen av konvergensskivans medelpunkt, cn är den nte komplexa koefficienten, och z är en komplex variabel
Konvergensradien r är ett icke-negativt reellt tal eller = ∞ sådant att serien konvergerar om
och divergerar om
I enlighet med denna definition gäller
Med andra ord, serien konvergerar om z är tillräckligt nära centrum och divergerar om z är tillräckligt avlägset. Konvergensradien anger vad som är tillräckligt nära. På gränsen, det vill säga där |z − a| = r, kan potensserien uppvisa ett komplicerat beteende och konvergera för vissa värden av z och divergera för andra. Konvergensradien sägs vara oändlig om serien konvergerar för alla z.
Beräkning av konvergensradie Vanliga konvergenskriterier Cauchys rotkriterium Om serien har egenskapen att då där, , är serien absolutkonvergent om 0 < A < 1 och divergent om 1 < A ≤ ∞.
d'Alemberts kvotkriterium Om serien har nollskilda termer och då där , är serien absolutkonvergent om 0 < A < 1 och divergent om 1 < A ≤ ∞. Exempel 1 Bestäm konvergensradien och för vilka värden potensserien
konvergerar. Om
så gäller för alla nollskilda x att
Enligt d'Alemberts kvotkriterium är serien absolutkonvergent om |x| < 1 och divergent om |x| > 1 (således är konvergensradien 1). Återstår fallet då |x| är lika med konvergensradien, det vill säga då x = ±1: för x = 1 blir serien
som är divergent. Om x = -1 blir serien
som är konvergent enligt Leibniz' konvergenskriterium. Exempel 2 Bestäm konvergensradien för serien
för alla x och enligt Cauchys rotkriterium är serien absolutkonvergent med konvergensradien ∞.
Referenser Folke Eriksson , Eric Larsson, Gösta Wahde : ”Matematisk analys med tillämpningar”, Göteborg 2009. Göran Forsling , Mats Neymark : "Matematisk analys En Variabel" Brown, James; Churchill, Ruel (1989), Complex variables and applications, New York
Kategori:Komplex analys