Inom matematiken är Weilförmodandena några väldigt inflytelserika förmodanden framlagda av om lokala zetafunktioner, genererande funktionerna av antalet punkter på en algebraisk varietet över en ändlig kropp.
Weil förmodade att dessa zetafunktioner är rationella funktioner, satisfierar en viss slags funktionalekvation och har vissa restriktioner gällande sina nollställen. De två sista delarna är analoga till funktionalekvationen av Riemanns zetafunktion och den obevisade Riemannhypotesen. Rationaliteten bevisades av , funktionalekvationen av och analogin av Riemannhypotesen av .
Förmodandena
Låt X vara en icke-singulär n-dimensionell projektiv algebraisk varietet över kroppen Fq med q element. Zetafunktionen ζ(X, s) av X definieras som
där Nm är antalet punkter av X definierade över utvidgningen Fqm av grad m av Fq.
Weilförmodandena lyder:
(Rationalitet) ζ(X, s) är en rationell funktion av T = q−s. Mer precist kan ζ(X, s) skrivas som en ändlig alternerande produkt <dd> där varje Pi(T) är ett heltalspolynom. Vidare är P0(T) = 1 − T, P2n(T) = 1 − qnT, och för kan Pi(T) faktoriseras över C som för några tal αij. (Funktionalekvation och Poincarédualitet) Zetafunktionen satisfierar <dd> eller ekvivalent <dd> där E är Eulerkarakteristiken av X. Speciellt är för alla i talen α2n-i,1, α2n-i,2, … en permutation av qn/αi,1, qn/αi,2, …. (Riemannhypotesen) |αi,j| = qi/2 för alla och alla j. Ur detta följer att alla nollställen av Pk(T) ligger på den "kritiska linjen" av komplexa tal s med reell del k/2. (Bettital) Om X är en (god) "reduktion mod p" av en icke-singulär projektiv varietet Y definierad över en talkropp inbäddad i kroppen av komplexa tal, då är graden av Pi det ith Bettitalet av rummet av komplexa punkter av Y.
Användningar bevisade svåra Lefschetzsatsen (en del av Grothendiecks standardförmodanden) genom att använda sitt andra bevis av Weilförmodandena. hade tidigare bevisat att Ramanujan-Peterssons förmodan följer ur Weilförmodandena. använde Weilförmodandena till att bevisa begränsningar för exponentiella summor.
Referenser
Allmänna källor
Reprinted in
Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by André Weil
Kategori:Topologiska metoder av algebraisk geometri Kategori:Satser inom talteori Kategori:Förmodanden Kategori:Matematikens historia Kategori:Homologisk algebra Kategori:Zeta- och L-funktioner Kategori:Fixpunkter Kategori:Ändliga kroppar