У математичкој анализи, простори тест функција и дистрибуција су тополошки векторски простори (ТВП) који се користе за дефинисање и примену дистрибуција. Тест функције су обично бесконачно диференцијабилне комплексно-вредносне (или понекад реално-вредносне) функције на непразном отвореном подскупу које имају компактан носач. Простор свих тест функција, означен са , снабдевен је одређеном топологијом, званом , која чини комплетним Хаусдорфовим локално конвексним ТВП-ом. Јаки дуални простор од назива се и означава са где доњи индекс „” означава да је непрекидни дуални простор од означен са снабдевен јаком дуалном топологијом.

Постоје и други могући избори за простор тест функција, који доводе до других различитих простора дистрибуција. Ако је онда употреба Шварцових функцијаШварцов простор се састоји од глатких брзо опадајућих тест функција, где „брзо опадајуће” значи да функција опада брже него што било који полином расте када се тачке у њеном домену удаљавају од координатног почетка. као тест функција даје известан потпростор од чији се елементи називају . Оне су важне јер омогућавају да се Фуријеова трансформација прошири са „стандардних функција” на умерене дистрибуције. Скуп умерених дистрибуција чини векторски потпростор простора дистрибуција и стога је један пример простора дистрибуција; постоји много других простора дистрибуција.

Такође постоје и друге главне класе тест функција које подскупови од , као што су простори аналитичких тест функција, које производе веома различите класе дистрибуција. Теорија таквих дистрибуција има другачији карактер од претходне јер не постоје аналитичке функције са непразним компактним носачем.Изузев тривијалног (тј. идентички ) пресликавања, које је наравно увек аналитичко. Употреба аналитичких тест функција води до Сатоове теорије хиперфункција.

Нотација

Следећа нотација ће се користити у целом овом чланку: је фиксни позитиван цео број и је фиксни непразни отворени подскуп еуклидског простора означава природне бројеве. ће означавати ненегативан цео број или Ако је функција онда означава њен домен, а означен са дефинише се као затворење скупа у За две функције , следећа нотација дефинише каноничко спаривање: величине је елемент у (с обзиром да је фиксно, ако се величина мулти-индекса изостави онда треба претпоставити да је величина ). мулти-индекса дефинише се као и означава са Мулти-индекси су посебно корисни када се ради са функцијама више променљивих, посебно уводимо следеће ознаке за дати мулти-индекс : Такође уводимо парцијално уређење свих мулти-индекса са ако и само ако за све Када је дефинишемо њихов мулти-индексни биномни коефицијент као: ће означавати извесну непразну колекцију компактних подскупова од (детаљно описану у наставку).

Дефиниције тест функција и дистрибуција

У овом одељку формално ћемо дефинисати реално-вредносне дистрибуције на . Уз мање модификације, могу се такође дефинисати комплексно-вредносне дистрибуције, а може се заменити било којом (паракомпактном) глатком многострукошћу.

мини|350x350px|График bump функције где је и Ова функција је тест функција на и елемент је од Носач ове функције је затворени јединични диск у Она је различита од нуле на отвореном јединичном диску и једнака је свуда ван њега.

Приметимо да за све и било које компактне подскупове и од , имамо:

Дистрибуције на дефинишу се као непрекидни линеарни функционали на када је овај векторски простор снабдевен одређеном топологијом која се зове . Ову топологију нажалост није лако дефинисати, али је ипак могуће окарактерисати дистрибуције тако да се каноничка ЛФ-топологија не помиње.

Став: Ако је линеарни функционал на онда је дистрибуција ако и само ако су задовољени следећи еквивалентни услови: За сваки компактни подскуп постоје константе и (зависне од ) такве да за све За сваки компактни подскуп постоје константе и такве да за све са носачем садржаним у Видети на пример . За сваки компактни подскуп и сваки низ у ако конвергира униформно ка нули на за све мулти-индексе , онда

Горе наведене карактеризације могу се користити за одређивање да ли је линеарни функционал дистрибуција, али напреднија употреба дистрибуција и тест функција (као што су примене на диференцијалне једначине) је ограничена ако се на и не поставе топологије. Да бисмо дефинисали простор дистрибуција, прво морамо дефинисати каноничку ЛФ-топологију, што заузврат захтева да се прво дефинише неколико других локално конвексних тополошких векторских простора (ТВП). Прво ће бити дефинисана (ненормибилна) топологија на , затим ће сваки бити снабдевен топологијом потпростора индукованом на њега од стране , и коначно ће бити дефинисана (неметризабилна) каноничка ЛФ-топологија на . Простор дистрибуција, будући дефинисан као непрекидни дуални простор од , затим је снабдевен (неметризабилном) јаком дуалном топологијом индукованом од стране и каноничке ЛФ-топологије (ова топологија је генерализација уобичајене топологије индуковане операторском нормом која се поставља на непрекидне дуалне просторе нормираних простора). Ово коначно омогућава разматрање напреднијих појмова као што су конвергенција дистрибуција (и низова мрежа), разних (под)простора дистрибуција и операција над дистрибуцијама, укључујући проширење диференцијалних једначина на дистрибуције.

Избор компактних скупова K

Свуда у тексту, ће бити било која колекција компактних подскупова од таква да (1) и (2) за сваки компактан постоји неко такво да Најчешћи избори за су: Скуп свих компактних подскупова од , или Скуп где и за све , и је релативно компактан непразни отворени подскуп од (овде, „релативно компактан” значи да је затворење од , било у или у , компактно).

Чинимо усмереним скупом дефинишући ако и само ако Приметимо да иако дефиниције накнадно дефинисаних топологија експлицитно референцирају , у стварности оне не зависе од избора то јест, ако су и било које две такве колекције компактних подскупова од онда су топологије дефинисане на и коришћењем уместо исте као оне дефинисане коришћењем уместо

Топологија на -{Ck(U)}-

Сада уводимо полунорме које ће дефинисати топологију на Различити аутори понекад користе различите фамилије полунорми, па наводимо најчешће фамилије у наставку. Међутим, резултујућа топологија је иста без обзира која се фамилија користи.

Све горе наведене функције су ненегативне -вредноснеСлика компактног скупа под непрекидним -вредносним пресликавањем (на пример, за ) је и сама компактан, а самим тим и ограничен, подскуп од Ако је онда ово имплицира да је свака од горе дефинисаних функција -вредносна (то јест, ниједан од супремума изнад никада није једнак ). полунорме на Као што је објашњено у овом чланку, сваки скуп полунорми на векторском простору индукује локално конвексну векторску топологију.

Сваки од следећих скупова полунорми

генерише исту локално конвексну векторску топологију на .

Са овом топологијом, постаје локално конвексан Фрешеов простор који нормибилан. Сваки елемент од је непрекидна полунорма на . Под овом топологијом, мрежа у конвергира ка ако и само ако за сваки мулти-индекс са и сваки компактан , мрежа парцијалних извода конвергира униформно ка на За свако сваки (фон Нојманов) ограничен подскуп од је релативно компактан подскуп од Конкретно, подскуп од је ограничен ако и само ако је ограничен у за све Простор је Монтелов простор ако и само ако је

Топологија на је супериорни лимес топологија потпростора индукованих на од стране ТВП-ова када пролази кроз ненегативне целе бројеве. Подскуп од је отворен у овој топологији ако и само ако постоји такво да је отворен када је снабдевен топологијом потпростора индукованом на њега од стране .

Метрика која дефинише топологију

Ако фамилија компактних скупова задовољава и за све онда се комплетна транслационо-инваријантна метрика на може добити узимањем погодне пребројиве Фрешеове комбинације било које од горе наведених дефинишућих фамилија полунорми (A, B, C). На пример, коришћење полунорми резултује метриком

Често је лакше једноставно разматрати полунорме (избегавајући било какву метрику) и користити алате функционалне анализе.

Топологија на -{Ck(K)}-

Као и раније, фиксирајмо Подсетимо се да ако је било који компактни подскуп од онда

За сваки компактни подскуп је затворен потпростор Фрешеовог простора и самим тим је такође Фрешеов простор. За све компактне који задовољавају означимо инклузионо пресликавање са Тада је ово пресликавање линеарно утапање ТВП-ова (то јест, то је линеарно пресликавање које је такође тополошко утапање) чија је слика (или „ранг”) затворена у свом кодомену; другачије речено, топологија на је идентична топологији потпростора коју наслеђује од и такође је затворен подскуп од Унутрашњост од релативно у односу на је празна.

Ако је коначно онда је Банахов простор са топологијом која се може дефинисати нормом

А када је онда је чак и Хилбертов простор. Простор је дистингвирани Шварцов Монтелов простор па ако је онда нормибилан и самим тим Банахов простор (иако је, као и сви други Фрешеов простор).

Тривијална проширења и независност топологије -{Ck(K)}- од -{U}-

Дефиниција од зависи од па ћемо са означавати тополошки простор који је по дефиницији тополошки потпростор од Претпоставимо да је отворен подскуп од који садржи и за сваки компактни подскуп , нека је векторски потпростор од који се састоји од пресликавања са носачем садржаним у За дато , његово је по дефиницији, функција дефинисана са:

тако да Нека означава пресликавање које шаље функцију у у њено тривијално проширење на . Ово пресликавање је линеарна инјекција и за сваки компактни подскуп (где је такође компактни подскуп од пошто је ) имамо

Ако је рестриковано на онда је следеће индуковано линеарно пресликавање хомеоморфизам (и самим тим ТВП-изоморфизам):

и самим тим су следећа два пресликавања (која су, као и претходно пресликавање, дефинисана са ) тополошка утапања:

(топологија на је каноничка ЛФ топологија, која се дефинише касније). Користећи инјекцију

векторски простор се канонички идентификује са својом сликом у (међутим, ако је онда тополошко утапање када су ови простори снабдевени својим каноничким ЛФ топологијама, иако је непрекидно). Пошто је , кроз ову идентификацију, се такође може сматрати подскупом од Важно је да је топологија потпростора коју наслеђује од (када се посматра као подскуп од ) идентична топологији потпростора коју наслеђује од (када се уместо тога посматра као подскуп од преко идентификације). Дакле, топологија на је независна од отвореног подскупа од који садржи . Ово оправдава праксу писања уместо .

Каноничка ЛФ топологија

Подсетимо се да означава све оне функције у које имају компактан носач у при чему приметимо да је унија свих када пролази кроз Штавише, за свако , је густ подскуп од Специјални случај када је даје нам простор тест функција.

Овај одељак дефинише каноничку ЛФ топологију као директни лимес. Такође је могуће дефинисати ову топологију преко њених околина координатног почетка, што је описано касније.

Топологија дефинисана директним лимесима

За било која два скупа и , проглашавамо да је ако и само ако , што конкретно чини колекцију компактних подскупова од усмереним скупом (кажемо да је таква колекција ). За све компактне који задовољавају постоје инклузиона пресликавања

Подсетимо се одозго да је пресликавање тополошко утапање. Колекција пресликавања формира директни систем у категорији локално конвексних тополошких векторских простора који је усмерен помоћу (путем инклузије подскупова). Директни лимес овог система (у категорији локално конвексних ТВП-ова) је пар где су природне инклузије и где је сада снабдевен (јединственом) најјачом локално конвексном топологијом која чини сва инклузиона пресликавања непрекидним.

Топологија дефинисана околинама координатног почетка

Ако је конвексан подскуп од , онда је околина координатног почетка у каноничкој ЛФ топологији ако и само ако задовољава следећи услов: